具功能性反应的两种群模型的定性分析

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1、大连理工大学硕士学位论文1绪论1．1问题研究的背景及意义种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是与人们的生产及生活最密不可分的学科之一．人与其它生物共同生活在这个地球上，为了满足人类自身的生存与发展的需要，我们就要对各种生物资源进行合理的开发与科学的管理．我们对种群生态学进行研究，一方面是要对种群的发展变化有定量的分析与预测，另一方面是在人为的因素的影响下，对种群的发展趋势进行定性分析，使其既可以维持生态系统的平衡，又可以满足人类自身的发展需要，这对于我们实行可持续发展战略有着非常重要的作用．因此，我们对种群生态学的研究，在经济学和生物

2、学方面都有着重要的理论和现实意义．种群生态学的主要研究对象之一是食饵一捕食者两种群模型．自上世纪六十年代以来，此类模型在国内外已引起众多数学家和生态学家的广泛关注．到上世纪八十年代，对食饵一捕食者两种群模型的研究取得了较大的进展【1．1¨．食饵一捕食者两种群模型的根本价值在于它来自于现实又应用于现实，而许许多多的现实问题往往都可归结为常微分方程的数学模型．因此，常微分方程定性理论与稳定性理论[12-17]就成了研究该类模型的最重要的数学工具之一．由于常微分方程定性理论与平面几何紧密的结合在一起，从而形成了处理平面系统的一系列独特的数学方

3、法．近年来，有关利用常微分方程定性理论研究生态系统的文献已大量涌现，并陆续出版了一系列的专著[12-Is]，广泛的应用背景促进了这一理论迅速而深入的发展．1．2食饵一捕食者两种群模型经典的描述两种群生长过程的食饵一捕食者模型是A．J．Latka和V．Volterra分别各自建立的．其模型的一般形式是鲁=x(D[q一61y(f)]，(1．1)d掰y=y(f)[-口2+62石(吼其中x(f)和y(f)分别表示食饵和捕食者的数量，口l，6l，a2，62都是正的常数，q是在没有捕食者时食饵的增长率，bl是捕食者的捕食率，口：是在没有捕食者时食饵

4、自身的死亡率，62是食饵转化为捕食者的转化系数．具功能性反应的两种群模型的定性分析对于一个确定的地域而言，在没有捕食者时，食饵也是不能无限制地增长，即一个确定的地域对单种群有一个最大的容纳量，描述单种群生长过程的数学模型是所谓的Logistic方程o”竺；=x(r)[口一缸(f)]，(1．2)口r其中口是种群的内禀增长率，等是地域对种群的容纳量．6系统(1．1)是一个比较简单的Latka-Volterra模型，它建立的过程中没有考虑种群的密度制约因素．如果考虑密度制约，设在没有其它种群干扰时，种群的增长适合Logistic方程(1．2)

5、，即在方程(1．1)的两个方程中，分别加上一项与种群规模成正比的密度制约项，从而两种群相互作用的Latka—Volterra模型的一般形式可写成其中bl与c2分别反映两种群的密度作用因素，当bIc：是不同时为零的正数时为密度制约，当bIc：同时为零时为非密度制约，关于上述各模型的研究结果可参阅文献[1—4，18—21]．在食饵一捕食者两种群模型中，具功能性反应的互相干扰的食饵一捕食者两种群模型是一类非常重要的并具有广泛背景的模型，它的一般形式是其中z(f)表示食饵种群在时刻r的密度，y(t)表示捕食者种群在时刻f的密度，函数g(x)为食

6、饵种群的增长率，9(z)是捕食者种群的功能性反应函数，m(O0是生物种群的变换系数．当所=1时，即可得到如下的功能反应函数的模型3Ⅺ、如0Dy“q气一D力攻X6h1+一b旷电力D娟灭=出一西方一衍^1Ⅺp一、乃册D吵枷啪砌0O妒m●Cy+一”)，F嘞“玫“／L一烈卜rf‘加畎=出一卉砂一西大连理工大学硕士学位论文对模型(1．5)，许多数学工作者对具各种不同的功能反应函数进行了研究，如文献[3·11】等．Hollin

7、g在文[3】以及Freedman和Wolkowicz在文[11】中给出了功能性反应函数应满足的条件，最常见的功能性反应函数有以下几种：(1)9I(x)：j饯，o≤z≤xo；【(巯，x>而(2)妒(z)=．等；l十∞X(3)妒(z)：#鲁；l十aⅨ(4)9(x)：-％；l十mx十C暇对以上四种不同的功能反应所对应的食饵．捕食者两种群模型，国内外许多数学工作者进行卓有成效的研究，见文f3．11，23．35]．但我们注意到已有的文献多是在所=1时的情况，而对于当0<朋<1时的模型(1．4)的研究相对较少，同时对于食饵或捕食者的相对增长率为其它

8、非线性函数，功能性反应函数亦为非线性函数，如缈(x)=舡4(0