具非线性功能反应函数的食饵—捕食者模型的定性分析

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1、具非线性功能反应函数的食饵一捕食者模型的定性分析1绪论1．1问题研究的背景及意义生物数学是一门介于数学和生物学之间的边缘学科，该学科的研究可以归纳为三部分：一、研究具有一定生物背景的数学问题；二、研究解决生物学问题的数学理论；三、研究含数学问题的生物学理论n圳。。种群生态学是描述种群与环境以及种群之间相互作用的动力学关系的学科。种群生态模型是理论生态学的主要研究内容，对种群动态系统的研究，在生物资源合理利用、生物多样性保护及病虫害防治等方面都有重要的应用价值。在种群生态系统研究中，人们最感兴趣的不是特定公式

2、的数学推导细节，而是模型的结构、决定种群大小的因素或者决定种群对自然和人为干扰的响应机制等。数学模型是描述现实系统或其性质的一个抽象的、简化的数学结构。人们用数学模型来揭示系统的内在机制以及对系统发展态势进行预测。众所周知，这类模型可以用来描述、预测以至调节和控制物种的发展过程和发展趋势。后来数学家用数学理论和方法来研究种群生态学乃至更普遍的生态学，得到一些理论上的结果，然后再用来解释和解决具体的生物学问题【2】。这对于研究生态学是很重要的，可以促使人们进一步的了解自然。目前种群数学模型己成为开发资源，更合

3、理地使用资源和保护环境的一个重要工具。应用数学理论和方法来研究这些生态学模型就是数学生态学的主要内容。也是生物数学的一个很重要的分支，引起越来越多的数学家和生物学家的重视，越来越多的人开始从事这方面的研究工作，也使之获得了不断的发展。生活在自然界中的任何物种都不可能以单一个体形式存在，必然与同种或不同种的其他个体生活在一起，构成一个相互依赖、相互制约的群体。物种之间的相互关系对于整个生物界的生存和发展是极为重要的，它不仅影响每一个物种的生存，而且还把各个物种连结为复杂的生命之网，决定着群落和生态系统的稳定性

4、。物种之间的相互关系可以分为四种：互惠共生、寄生、竞争、捕食【l】。其中影响种群动力学行为的一个重要类型是捕食关系。因此，食饵一捕食者相互作用关系的研究自然成为生态学界和生物数学界研究的一个主要课题。一般地，食饵一捕食者系统建模遵循两个原则：一个是种群动态过程可以分解为出生和死亡两个过程；另一个是捕食者的生长可以视为其食物的函数【5叫。据此，可以建立如下规范的捕食者一食饵模型：I戈(，)=xg(x)-yf(x，y)-I．tx(x)xl夕(f)=yf(x,y)y-,uy@)J，陕西科技大学硕士学位论文其中，荆

5、是食饵的自然出生率，段，纷是食饵和捕食者的自然死亡率，／@力为功能性反应，)，厂@力是捕食转化率，也称为数值性反应。通常认为被捕食是食饵的主要死因，于是触可以忽略为0(只要捕食者存在)。在种群动力学中，功能反应函数是指在单个捕食者情况下，被捕食者(或食饵)的种群密度(或个体数)关于时间的变化率。它除了依赖于食饵的密度，还反映了捕食者的捕食能力。(更精确地说，捕食者的捕食效率不仅受食饵密度大小的影响，而且受捕食者本身密度的影响。)功能性反应在食饵一捕食者系统的研究中扮演着重要的角色，它可以决定在捕食过程中生物

6、数量的转化和整个系统的动力学行为⋯01。一般地，功能性反应分成三种lIIJ：(1)食饵依赖型，即食饵密度决定功能性反应函数，也就是舷力=p(D；(2)捕食者依赖型，功能性反应函数是由食饵密度和捕食者密度共同决定。特别地，如果舷力=p(x／y)，我们称模型(1—2)为严格比率依赖型；(3)多种群依赖型，多个种群而不仅仅是捕食者与食饵密度决定功能性反应。生态学家和生物数学家提出了许多著名的功能性反应函数，诸如HollingtypesI，II，Ill，IV[12-131，Hassell．Varley型【141，B

7、eddington．DeAngelis型【15-161，Crowley．Martin型【171，Michaelis．Menten型【18】，Monod型191，以及由Arditi和Ginzbur91989年提出的比率依赖型【7】。其中，HollingI．III型属于食饵依赖型，其他均为捕食者依赖型。近年来，捕食者依赖型模型在理论和实验上都得到了很大的发展。许多学者研究了具有不同功能性反应的食饵一捕食者生态系统，并得到了丰富的动力学结果‘20。26】[68-83]。而对于食饵或捕食者的相对增长率为其他非线性函

8、数的数学模型也是同样有生态意义的[27-341，这是我们值得关注的问题。1．2食饵一捕食者模型复杂种群动力学的研究与种群生态学的研究一样古老141。经典的描述两种群生长过程的食饵一捕食者模型是20世纪20年代初，美国种群学家AlfredLotka在1924年研究化学反应，意大利数学家VitoVolterra在1926年研究鱼类竞争时独立提出了描述食饵一捕食者相互关系的数学模型，并被后人称为Lotka．Volter