碟形扁壳的非线性失稳模态分析

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1、重庆大学硕士学位论文直接按参数幂展开，将解表达成参数的幂级数，称之为直接展开，所得的展开式通常仅在自变量的某个确定范围内有效，而不可能在所讨论的整个区域内一致有效，摄动方法的目的就在于寻求一致有效的渐近解。而大部分的摄动技术正是为了使非一致有效的展开式变为一致有效的展开。摄动方法的产生可溯源到十九世纪末期天文学Indstcdt(1882)、Bohlin(1889)和Gyldcn(1893)等人的工作。他们利用小参数e的幂级数来研究行星的运行问题，这些幂级数虽然是发散的，却正确地描述了客观现象，引起了人们

2、很大的惊异。1892年杰出的数学和力学家庞加莱(Poincare)证明了这些发散级数是一种所谓渐近级数，当参数e充分小时，它的前几项之和可以充分地接近原来问题的解，从而为这种“小参数法”或“摄动法”建立了理论基础。本世纪四十年代，这种方法在流体力学的研究中被发展为PLK方法，即Poincare-lighthill郭永怀方法。1905年Prandtl在研究航空工程问题的过程中引入“附面层法”，亦称匹配法，五十年代又进一步将它发展为边界层校正法。20年代在量子力学研究中创立了WKB方法。近来又产生了多重尺度

3、法，它被广泛应用于非线性振动、非线性波、轨道力学、流体力学、固体力学等领域的研究。近二、三十年来，微分不等式理论、对角化技巧得到迅速发展，已成为解决非线性摄动问题又一有效的方法。在我国，著名力学家钱伟长在20世纪40年代就开始从事摄动理论的研究。他在1947、1948年发表的两篇关于圆板大挠度问题的论文，目前已成为经典文献。[5][6]他提出的以中心挠度为参数展开的方法，在国际上称为钱伟长法。1953年郭永怀教授在研究平板边界层流时，把边界层方法与变形坐标法结合使用，得到了平[7]板粘性刘东的全场一致有

4、效解。林家翘在1954年对双曲型微分方程问题提出了通常称为解析特征线法的奇异摄动理论，为研究非线性波的问题提供了一个新的有效的途径。在70年代，林家翘研究了有转向点的四阶微分方程的渐近解法。我国在摄动的理论研究方面，主要的特点是：采用先进的技巧，例如微分不等式、不动点理论、极值原理、对角化技巧等，使摄动理论严格化、系统化；研究了更复杂的非线性微分方程、微分-差分方程、微分-积分方程的各类初边值摄动问题，及其渐近解、数值解的内层、边界层、过度层等现象，并对奇异摄动的渐近解作一致有效性的精度估计，提出了新的

5、摄动方法，例如修正的多重尺度法、推广的边界层校正法、修正迭代法、多参数展开法、推广的KBM法、修正的完全近似解法等等。1.3自由参数摄动法的提出在使用摄动方法求解微分方程时，研究者所遇到的一个重要同时也是比较困难的问题是如何引入适当的渐近序列，也即如何构造摄动解的形式。这其中包含21绪论两个方面的问题，一是选择适当的小参数e(也即摄动参数)构造解，另一方面是将e按何种形式展开。对于第二个问题，多数情况下渐近序列表示为以正整数n规范n函数序列{e}展开。而对于第一个问题，可以确定的是所使用的小参数须是无量

6、纲量，但并无一个确定的规律来指导工作者如何具体的选取适合的无量纲摄动参数，很大程度上依靠研究者个人对问题的理解深度和计算技巧，这使得所构造出摄动解带有一些经验的成分。如果选取的摄动参数不合适，其直接结果是摄动法的失效，或者计算出的结果与实际值相差很大，难以进行分析研究。为解决这一问题，陈山林在文[8]中提出了自由参数摄动方法，克服了摄动参数选择时的先验性。本文正是采用该方法对碟形扁壳的非线性失稳模态进行分析。自由参数摄动法，是一种不依赖于摄动参数具体物理意义而直接求解特征方程的摄动方法。这种摄动方法与传

7、统解法的不同之处在于它无须研究者确定摄动参数的具体意义而直接给出求解问题的弹性特征，使求解过程和结果更趋于合理。由于它不涉及选择具体摄动参数的问题，此方法可以避免选择摄动参数时的经验性，使得解的精度具有较好的稳定性。由于该方法能够直接给出问题的全部弹性特征，有利于研究者对于造成某一现象(如屈曲现象、失稳现象)的因素进行全面的研究。例如，在研究壳体失稳问题中，我们可以建立壳体表面的不同点的挠度、内应力和内弯矩与载荷之间的弹性特征方程，求解出满足这些特征方程的壳体失稳的临界载荷，通过比较就能得出符合实际情况

8、的临界载荷值。同样，在载荷确定的情况下，可以通过特征方程求得壳面各点挠度、内应力和内弯矩，从而可以分析壳体失稳过程中壳体内力参量值随载荷变化的规律。1.4扁壳非线性稳定问题的研究现状薄壳非线性稳定问题的研究随着薄壳结构的日益广泛应用而不断得到发展。20世纪初,研究者们应用线性理论获得了一些薄壳失稳分析的理论成果,给出了著名的轴压柱壳和外压球壳失稳临界载荷公式。但是上述理论成果与实验之间存在着巨大差异。1934年,Donnell首先提出应用非