天文力学-波纹扁壳非线性振动的格林函数方法

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1、中国科学G辑:物理学力学天文学2008年第38卷第5期:592~599www.scichina.comphys.scichina.com《中国科学》杂志社SCIENCEINCHINAPRESS波纹扁壳非线性振动的格林函数方法重大工程灾害与控制教育部重点实验室;暨南大学应用力学研究所,广州510632*E-mail:tyuanhong@jnu.edu.cn收稿日期:2007-08-02;接受日期:2007-11-21摘要应用轴对称旋转扁壳的非线性大挠度动力学方程,研究了波纹扁壳的非线性自由振动及在中心集中载荷作用下受迫振动问题.采用格林函数方法,将扁壳的

2、非线性偏微分方程组化为非线性积分微分方程组.再使用展开法求出格林函数,即将格林函数展开为特征函数的级数形式,积分微分方程就成为具有退化核的形式,从而容易得到关于时间的非线性常微分方程组.针对单模态振形,得到了相应于最低阶特征频率的幅频关系和受谐和激励作用下的幅频响应.作为算例,研究了正弦波纹扁球壳的非线性自由及受迫振动现象.文中的解答可供波纹膜片的设计参考.关键词波纹壳球壳格林函数积分方程非线性振动波纹壳是一种灵敏弹性元件,广泛应用在精密仪器仪表中.要得到波纹壳的完整力学性能,就需要针对其弯曲、稳定及振动特性进行系统性的研究.尽管世界各国科学家在波纹壳

3、的非线性弯曲和稳定研究方面做了大量的工作[1~17],在振动方面的研究工作却相对很少[18~20],且都是从正交异性板理论出发研究自由振动问题.造成这种状况的原因可归于波纹壳本身形状复杂,参数较多,再加上惯性力项,使非线性振动问题变得难度很大.然而,研究波纹壳的非线性振动问题十分重要.采用正交异性板理论[18~20],王新志等人[18]选取波纹圆板中心最大振幅为摄动参数,应用摄动变分法,求得了波纹圆板的非线性固有频率.Liu和Li等人使用Galerkin方法[19]和修正迭代法[20]成功地解决了波纹圆板的非线性自由振动问题,得到了幅频关系式.在波纹壳的

4、非线性振动研究上,尚有4个方向的理论工作值得研究人员继续努力,分别是:(ⅰ)从正交异性板理论出发研究波纹圆板非线性受迫振动问题;(ⅱ)从壳体的非线性大挠度动力学方程出发研究波纹圆板非线性自由及受迫振动;(ⅲ)从壳体的非线性大挠度动力学方程出发研究波纹壳非线性自由及受迫振动;(ⅳ)从正交异性壳理论出发研究波纹壳非线性自由及受迫振动.最近,Liu和Wang[17]的开创性研究工作使得从上述第四个方向进行系统研究成为可能.本文从上述第三个方向着手,应用轴对称旋转扁壳的非线性大挠度动力学方程,研究了592中国科学G辑:物理学力学天文学2008年第38卷第5期波纹

5、扁壳的非线性自由振动及在中心集中载荷作用下的受迫振动问题.采用格林函数方法,将扁壳的非线性偏微分方程组化为非线性积分微分方程组.再使用展开法求出格林函数,即将格林函数展开为特征函数的级数形式,积分微分方程就化为具有退化核的形式,从而容易得到关于时间的非线性常微分方程组.针对单模态振形,得到了相应于最低阶特征频率的幅频关系和受谐和激励作用下的幅频响应.作为算例,研究了正弦波纹扁球壳的非线性自由及受迫振动现象.本文的解答可供波纹膜片的设计参考.1基本方程和边界条件图1所示波纹壳,它实际上是一个轴对称旋转壳,由一个中心平台及带浅正弦波纹和球面锥度的环形壳组成,

6、波纹壳受中心集中载荷Q0作用,波纹壳的半径为a,波纹环形壳部分的波长和波幅分别为L和H0,环形壳的球面锥度由球面曲率半径R0表示.由于波纹较浅且球面曲率半径较大,可以作为扁壳处理.为了求解方便,引入无量纲量:图1波纹壳的轴向截面R=r,t=⎡Eh21/2⎤t,l2=h,g=12(1-n)aF,⎢⎥a⎣12(1-n2)ga4⎦212(1-n2)a2-n2Qaw2Eh3f=b,la*=a,lQ=12(1)0,2πEh3w*=,h(1)其中r是径向半径,h是波纹壳厚度,g是质量密度,t是时间,F=rH是应力函数,H是壳中面薄膜内力的水平分

7、量,E和ν分别表示弹性模量和泊松比,a是变形前子午线切线方向与水平方向的夹角,b是旋转壳子午线方向的转角,w是垂直方向位移.采用无量纲表达式(1),考虑横向惯性力的影响,扁壳的大挠度动力学方程为[1,21]22*R¶f+¶f-R-1f-g(a*+f)=-[12(1-n2)]1/2⎛Q+ò⎝R¶w⎞RdR,⎠(2)¶R2¶R⎜0¶t2⎟593袁鸿:波纹扁壳非线性振动的格林函数方法2R¶g+¶g-R-1g+f⎛a*+1f⎞=0.(3)R2¶R⎜2⎟¶⎝⎠在外边界处,讨论最常见的夹紧固定情形,其边界条件可以表示为f=0,当R=1时;(4)¶g-n

8、g=0,¶R当R=1时.(5)在波纹壳的中心处,由对称性及水平应力合力有限,可