夹支扁球壳自由振动问题的准green函数方法

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1、夹支扁球壳自由振动问题的准Green函数方法李善倾，袁鸿，刘人怀（暨南大学力学与土木工程系，广东广州510632）摘要：将准Green函数方法应用于求解夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。即利用问题的基本解和边界方程构造一个准Green函数，这个函数满足了问题的齐次边界条件。采用Green公式将夹支任意形状底扁球壳自由振动问题的振型控制微分方程化为第二类Fredholm积分方程。通过边界方程的适当选择，积分方程核的奇异性被克服了。最后通过离散化方程求得数值结果.数值算例表明，该方法具有较高的精度，计算量小，收敛速度快，是一种新型有效的数学方法。关键词：Green函数；积分方

2、程；R-函数；夹支扁球壳；自由振动中图分类号：文献标识码：文章编号:收稿日期:修订日期:(日期待编辑部填写)基金项目:国家自然科学基金重点项目(11032005),国家自然科学基金青年基金项目(11402099),广东省自然科学基金博士启动项目(S2013040015146),广东省科技计划项目(2012A030200003),广州市科技计划项目(201510010013)引言扁球壳是指其最大矢高和底面直径之比一般应小于1/5。扁球壳在土木、水利、机械、船舶、航空航天等工程中都有着广泛的应用。扁球壳作为工程结构的主要部件，在进一步的设计与研究中需考虑其动力问题，而自由振动作

3、为扁球壳动力问题的基础应首先予以分析。扁球壳的自由振动问题，最重要的是求固有频率，尤其是最低阶固有频率。力学工作者对小挠度扁球壳振动问题已经做了大量的研究工作，并取得了许多研究成果。本文应用准Green函数方法分析夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题.Green函数方法广泛用来解决各种边值问题，然而，对于二维或高维问题，建立Green函数是极其复杂的，只有在极其简单的区域上（如圆、球），可以找到Green函数,困难在于虽然易于找到满足基本方程的函数（基本解），却难以满足问题的齐次边界条件.如果以基本解代替Green函数，将得到边界积分方程，它一般是一个在边界上具有奇异性的积分

4、方程。针对边界积分方程存在的问题，准Green函数方法采用了另一条途径推导积分方程。应用准Green函数、边界方程及Green公式可将双调和算子方程化为积分方程。用有限元法或有限差分法求解板壳问题时，需对整个研究区域划分单元网格，前处理工作量大，数据准备麻烦，花费大量机时。边界元法则克服了区域型数值方法的缺点，只在边界上划分单元，通过基本解把域内未知量化为边界未知量来求解，使自由度数目大大减少，但这种方法却存在大量奇异积分，而且在边界及其附近区域上解的精度较低。本文应用Rvachev[1]提出的R-函数理论和准Green函数方法，分析了夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。利

5、用问题的基本解构造一个准Green函数。这个函数满足了问题的齐次边界条件，但没能满足基本微分方程.而建立准Green函数的关键在于将问题的边界用规范化方程表示出来，问题的区域由不等式表示出来。将存在多种选择，经过适当的数学处理，积分方程核的奇异性可以被克服。R-函数理论保证了对于任何复杂的区域，总可以找到函数，从而可将原问题化为无奇异性的第二类Fredholm积分方程。使用这一方法，袁鸿等已成功求解了简支及固支各向同性薄板、简支扁球壳自由振动及弯曲问题[2-7]。准Green函数方法是一种新颖的数学思想，是一种值得研究的新数值方法。与有限元法或有限差分法相比，准Green函

6、数方法在解决的板壳问题方面，对整个研究区域划分单元网格很少，前处理工作量相对小很多，收敛速度快，计算量小，可求得很高精度的结果。本文将准Green函数方法应用于求解夹支任意形状底扁球壳的振动问题。通过夹支矩形底、梯形底扁球壳的数值结果证明了本文方法的有效性和可行性。1基本方程扁球壳的自由振动微分方程组为：，(1)，(2)式中，为应力函数，为壳体的径向挠度，为曲率半径，，为笛卡儿坐标系中扁球壳的底面(平面)所包含的域，为双调和算子，弯曲刚度，是壳的厚度，和分别是弹性模量和泊松比，为单位面积内的质量，是时间变量。滑动夹支边界条件为：(3)式中，是拉普拉斯算子，表示的边界，为边界

7、曲线的外法线方向。由式(1)和(3)式，可得(4)把表达式(4)代入(2)式，可得所单独满足的微分方程为(5)设(6)式中，和为常系数，为固有频率,表示振型函数。将表达式(6)代入(5)式可得夹支扁球壳的振型控制微分方程及边界条件为,(7)，,(8)2积分方程的推导设是边界的一阶规范化方程，即满足[8]：，,(9),(10)构造准Green函数如下(11)(12)其中(13)(14)(15)其中，、分别表示、方向的单位向量，，。显然准Green函数满足条件(16)(17)为了将边值问题(7)和(8)化为积分方程，应