一些幂零leibniz代数的导子代数与相关性质

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1、第一章引言J．·L．Loday在1993年及2001年的几篇文章(见【1】，【2】等)中介绍了一些新的代数的分类，它们中有的代数具有两种运算，这样的代数称为对代数，引出这样的代数结构的最主要的动机就是解决代数K理论中提出的有关问题以及它们与我们熟知的李代数和结合代数关系紧密．这些代数范畴在它们所定义的运算下级中形成了以下交换图：结合对代数mz代数这个交换图清楚地反映了这些代数范畴之间的Kozul对偶性．Loday引出了作为李代数的非交换情形的LeibIliz代数，Leibniz在数学及物理学等学科中都有重要的意义，参见【3】．作

2、为代数，它满足以下等式：h，【)，，z】】=【h，y】，z】一【【z，z】，力．1998，1999，2001年，AyupoV和OrIlirov对低维Leibmz代数的幂零性以及它的分类进行了研究，(参见【4】)，提出了有限维LeibTliz代数幂零可解的充要条件．2005年，S．Albeverio，Sh．A．Ayupov和B．A．Om的v对幂零和单LeibIliz代数做了进一步的研究，证明了在特征为O的域上，满足Engel的n阶条件的任一LeiⅢz代数是幂零的(参见[5】)．、第一章引言22006年，在【6】一文中，S．Albe

3、verio，B．A．0砸rov'和I．S．Ral(himov讨论了四维幂零Leibmz代数的分类，本文的主要目的之一就是讨论这一类代数的相关性质．近一两年来，灿iceFialowsl【i和AshisMandal等人讨论了李代数的李变形以及将它看做LeibIliz代数时的LeibIliz变形，(参见【7】，【8】，【9】)等，他们讨论了李变形以及Leibniz变形，刘东等人也深入研究了LeibIliz代数的结构，(参见【12】，【13】，【14】)，这些问题中有很多是计算Leib血z代数的二阶上同调问题，本文受此启发Matlab程

4、序讨论了最简线状李代数的二阶上同调及将它们看作L崩bIliz代数的二阶上同调．第二章四维幂零Leibniz代数的导子代数及其相关性质2．1基本概念和定理定义2．1．一个Leibmz代数2是一个向量空间，上面定义了一个括积：【一，一】：Q×e一÷e，满足LeibIliz等式：h，【)，，z】】=[h，纠，z】一【h，z】，纠，V五弘z∈Q．注：李代数是乘积满足反交换律的Leibmz代数．定义2．2．设e是一个Leibmz代数，子空间，c2称为2的左(右)理想，如果V口∈，和工∈2，有【x，口】∈J(k，明∈D．如果J既是左理想又是

5、右理想，称，是e的双边理想．定义23．对Leiblliz代数g，我们定义以下的理想序列：(a)21=2，2以+l=【Q开，Q】，甩>O．显然有21)e2)⋯]2“)⋯．(b)2‘1>=e，￡伽+1)=【e<吣，Q(”’】，，l>0，则有Q《1’)2《2’)⋯)2伽’)⋯．称一个Leiblliz代数Q是幂零的，如果存在整数n>0使得驴=0；称e是可解的，如果存在整数m>O使得2

6、=【D(工)，力+【J，D◇)】，则称D为e的一个导子．ad缸口)：=一k，明，则ad工为一个导子，称ad石为Q的内导子．3第二章四维幂零Leiblljz代数的导子代数及其相关性质4定理2．1．参见，卯在同构意义下，四维非李且不分裂LeibIliz代数分为以下五类单参数及十二类具体类：欺1：【Pl，Pl】=P2，【P2，Pl】2旬，【P3，Pl】2铂；2≈2：【Pl，Pl】=P3，【Pl，P2】=臼，【已2，Pl】=P3，【已3，PI】2铂；俄3：№l，PI】=P3，【龟，P1】=旬，【P3，Pl】=臼；欺：：kl'Pl】=P3

7、，№l，P2】=口％，【Q，Pl】=P3，【吮，P2】=铂，【P3，Pl】=铂，口∈{O，lJ；冀5：№l’已l】=臼，№“晚】=“，【P3，P1】=铂；冀6：№1，已I】=旬，【晚，晚】=幻，【旬，已I】=啊；R7：№l，已l】=臼，№l，晚】=旬，【晚，Pl】=一句，【吃，P2】=一2旬+％；俄8：pl，P2】=P3，【晚，PI】=臼，【晚，P2】=一句；Rg：【Pl'PI】=P3，【P1'龟】=“，[吮，已l】=一口P3，【兜，已2】=一“，口∈C；R％：№l’Pl】=“，【Pl，亏2】=岫，【勿，Pl】=一岫，【眈，免】

8、=啊，【P3，已3】=“，口∈C；默ll：【Pl’晚】=翻，№l，已3】=幻，【眈，已l】=一“，【吮，眈】=铂，【已3，已l】=“；民12：№l’ea=臼，№l’Q】=铂，【眈，Pt】=一国，【P3，93】=“：R13：№l'晚】=P3，k，Pl】=以；欺14