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1、2010年10月纯粹数学与应用数学Oct.2010第26卷第5期PureandAppliedMathematicsVol.26No.5P-adic数域Qp上的级数理论赵艳,马巧云(西安文理学院数学系,陕西西安710065)摘要：主要研究了P-adic数域上无穷级数的收敛问题.给出了P-adic数域上数项级数,函数项级数收敛的充要条件,并作了完整的证明.得到了P-adic数域上级数收敛比实数域上级数收敛更容易判断的结论.关键词：P-adic级数；P-adic函数项级数；级数收敛中图分类号：O156.4文献标识码：A文章编号：1008-5513(2010)0
2、5-0751-041引引引言言言传统的微积分理论结果在P-adic分析中得到了推广[1-2],但是他们还是有区别[3-4]的,能否将实分析中已经成熟的级数理论,也推广到P-adic数域上,得到与实分析类似,甚至更好的结论.下面,我们将讨论P-adic数域上的级数理论.2P-adic数数数域域域上上上数数数项项项级级级数数数的的的收收收敛敛敛我们先给出P-adic数域Qp上数列收敛的定义及其收敛的一个充要条件.定定定义义义1.1把给定的数列f®kg的各项依次相加®1+®2+¢¢¢+®n+¢¢¢,称为P-adic域上的数项级数.简记为X1®n;®k2Qp;(
3、k=1;2;3;¢¢¢):(1)n=1级数(1)的前n项和记为XnSn=®k=®1+®2+¢¢¢+®n:k=1定定定义义义1.2若级数(1)的部分和数列fSng收敛于S,即limn!1Sn=S,则称级数(1)P1收敛,S为级数的和.记S=k=1®k:引引引理理理1[1]P-adic数域Qp上数列f®kg收敛的充要条件是:对于任意给定的"p,总存在正整数N,当m;n>N时,有j®m¡®njp<"p(2)收稿日期：2008-11-10.基金项目：国家自然科学基金(10671155),西安文理学院中青年科研基金(kyc201006).作者简介：赵艳(1978-
4、),讲师,研究方向：数论.752纯粹数学与应用数学第26卷成立.其中®m;®n;"p2Qp(m;n=1;2;3;¢¢¢).接下来,我们来研究P-adic数域Qp上级数收敛的判定定理.引引引理理理2[1]设Qp中的数项级数X1®k;®k2Qp(k=1;2;3;¢¢¢);k=1则该级数收敛的充要条件是limn!1janjp=0,即limn!1an=0成立.在实数域上,这只是级数收敛的必要条件[5].而在P-adic数域中,这是级数收敛的充要条件,因此使得P-adic级数收敛的判断更简单.又因为P-adic赋值的性质,所以P-adic数域上的级数没有条件收敛和
5、绝对收敛的问题[6].P1定定定理理理1P-adic数域Qp上级数k=1®k收敛的充要条件:对于任意给定的"p,总存在正整数N,当m;n>N时,有j®m+1+®m+2+¢¢¢+®m+njp<"p(3)成立.P1证证证明明明)因为k=1®k收敛,由引理2,limn!1an=0即对于任意给定的"p,总存在正整数N,使得对于k>N的一切®k,有j®kjp<"p成立.所以j®m+1+®m+2+¢¢¢+®m+njp·maxfj®m+1jp;j®m+2jp;¢¢¢;j®m+njpg<"p:P1(设级数k=1®k的部分和是Sn,则有j®m+1+®m+2+¢¢¢+®m+
6、njp=jSm+n¡Smjp<"p:P1P1对级数k=1®k的部分和数列fSng应用引理3,有fSng收敛.即就是k=1®k收敛.3P-adic数数数域域域上上上函函函数数数项项项级级级数数数的的的收收收敛敛敛定定定义义义2.1设f1(x);f2(x);¢¢¢;fn(x)¢¢¢是定义在Qp上的P-adic函数列,简记为ffn(x)g:(4)设x02Qp,把x0代入(4)式,可得数列f1(x0);f2(x0);¢¢¢;fn(x0);¢¢¢:(5)若(5)式收敛,则称函数列ffn(x)g在x0处收敛,若函数列在K2Qp上每一点都收敛,则称ffn(x)g在K上
7、收敛.定定定义义义2.2设fn(x)是定义在K2Qp上的P-adic函数列.把f1(x)+f2(x)+¢¢¢+fn(x)¢¢¢;x2Qp;第5期赵艳等:P-adic数域Qp上的级数理论753P1称为定义在K2Qp上的函数项级数,简记为n=1fn(x):称X1Sn(x)=fk(x);x2Qp;n=1;2;3;¢¢¢k=1P1为函数项级数n=1fn(x)的部分和.P1取x02Qp,若部分和Sn(x0)在n!1时极限S(x0)存在,即数项级数n=1fn(x0)收P1敛,则称函数项级数n=1fn(x)在点x0处收敛.P1若数集在Qp上的某个子集K上每一点都收敛,
8、则函数项级数n=1fn(x)在K上收敛.K称为函数项级数的收敛域.再记和函数S(
