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《数域上整体类域论的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数域上的整体类域论一概述本文主要阐述Magma程序中关于代数数论中经典理论类域论的方面的程序.主要内容来自悉尼大学ClausFieker教授写的ApplicationsoftheClassFieldTheoryofGlobalFields.本文假设读者已经熟悉Magma的基本应用.整体类域论提供了代数数域的有限abelian扩张的一种描述.我们用Magma将这个过程完整描述出来,给学习和使用类域论的读者提供参考.二建立数域一个数域是有理数域Q的一个有限扩张.让我们首先来建立一个代数数域.一个代数数域是一个有理数域的有限扩
2、张,因此我们首先定义有理数域.>Q:=Rational();其次,一个代数数域需要有一个多项式不可约来定义,因此我们先定义多项式环.>Qt:=PolynomialRing(Q);现在我们来定义代数数域Q(25^(1/3)).>K:=NumberField(t^3-25);这样K就是我们要建立的代数数域了.我们来试验一下.>a^3;25>a^23-25*a;6103515625*a^2-25*a我们会发现a=25^(1/3).接下来的问题自然是如何求K的整舒环和整基了.Magma提供了现成的程序.>Z_K
3、:=RingOfIntegers(K);>Basis(Z_K,K);[1,a,1/5*a^2]这样我们得到了O_K的基.在Magma中O_K中的数是在这个基底下的一个向量,而K中的元素是关于a的一个多项式.这两者表示的方式不一样.下面是一个例子.>Z_K![1,2,3];[1,2,3]>$1/1;Z_K.1+2/1*Z_K.2+3/1*Z_K.3>K!$1;1/5*(3*a^2+10*a+5)>Z_K!$1;[1,2,3]上面的例子中$1表示上一个运算结果,相当于Mathematica中的%.K!$1表示把$1转换成K中
4、的元素.怎么样,大家能够读懂这段代码吧.我们也可以试验一下整环中的运算.>m:=Z_K![1,2,3];>n:=Z_K![2,3,4];>[m+n,m*n];[[3,5,7],[87,19,40]]大家可以自行验证这个计算结果的正确性.现在我们来考虑K上的代数扩张.比如我们来对K坐分圆扩张.>E:=NumberField(Polynomial(K,CyclotomicPolynomial(3)));>E;E:Maximal;E
5、
6、K
7、
8、QE:$.1^2+$.1+14K:t^3-25E:$.1^2+$.1+1这
9、里输出的$.1表示E在K上的生成元。下面我们来举一个相对范数和绝对范数的求法的一个例子。>Norm(z+a);a^2-a+1>Norm(z+a,Q);676>Norm(z+a,E);z+a由于此时Z_K不是主理想整环，所以我们Z_E并不是一个自由Z_K模。所以我们类似定义Z_E在Z_K上面的整基是很困难的。Magma的方法主要是返回到Q的扩张上看。>E_Q:=AbsoluteField(E);>E_Q:Maximal;5E_Q
10、
11、QE_Q:t^6+3*t^5+6*t^4-43*t^3-69*t^2+78*t+676>Z_
12、E_Q:=MaximalOrder(E_Q);>Z_E!Z_E_Q.3;[[0,0,1],[0,0,0]]>E_Q!$1;1/4680*(-25*E_Q.1^5-62*E_Q.1^4-124*E_Q.1^3+1439*E_Q.1^2+1426*E_Q.1-1612)这样我们就能够表达Z_E中的元素了。二类群下面我们来求K的理想类群。算法详见ClausFieker教授的教材。我们这里只写代码。>K:=NumberField(x^2-10);>Z_K:=RingOfIntegers(K);>Cl,mCl:=ClassGrou
13、p(Z_K);>Cl;AbelianGroupisomorphictoZ/2Definedon1generatorRelations:2*Cl.1=0>mCl;我们可以看到Z_K的理想类群是一个秩为2的有限abel群。理想类群返回两个元素，一个是一个群，另外一个是一个从这个有限群到K的理想类的一个映射。比方说我们来看看这个群的生成元Cl.1对应的像。>I:=mCl(Cl.1);I;8IdealofZ_KTwoelementgenerators:[2,0][2,1]>I*K.1;IdealofZ_KTwoelementge
14、nerators:[0,2][10,2]我们可以看到这个想是一个理想类，其中的一个代表元是由[0,2]和[10,2]两个元素生成的理想。兴致之所致，我们反过来求一下理想I所对应的原像，以及检验我们的结果的正确性。>I@@mCl;Cl.1>(I^2)@@mCl;0>IsPrincipal(mCl(Cl.1));fals
