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1、南京航空航天大学硕士学位论文虚二次数域类群的8-秩姓名：吴锡梅申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：岳勤20061201南京航空航天大学硕士学位论文摘要数域的类群是代数数论中的一个重要研究课题。本论文主要研究虚二次数域的类群的2-Sylow子群的结构。本文利用二次数域的genus理论，Rédei准则,Gauss定理和Legendre定理计算虚二次数域的类群的8-秩，即在它的2-Sylow子群分解成循环子群的直和中，类群的8-秩就是所有阶数大于等于8直和分量的个数。本文主要研究虚二次域的类群的8-秩，其中它的判别式的每个奇素因子都
2、满足模4同余1。在判别式含有两个奇素数和三个奇素数的两种情况下，我们给出了虚二次数域的类群的8-秩为1或者2的充分必要条件，进一步把如上的结果n推广到判别式含有任意多个素因子情况。这些结果完全用模2同余关系，Legendre符号和四次剩余符号等来描绘的，提供一个相当方便数值计算。此外，我们还推广了Burde的四次互反律，并应用在类群的8-秩的计算中。关键词：类群，Legendre符号，四次剩余，genus理论，Rédei准则。i虚二次数域类群的8-秩AbstractTheclassgroupofanumberfieldisanimp
3、ortantsubjectinalgebraicnumbertheory.Thispapermainlystudiesthestructureof2-Sylowsubgroupsofclassgroupsforimaginaryquadraticnumberfields.Bygenustheory,Rédeicriteria,GausstheoryandLegendretheory,thispapercomputesthe8-ranksofclassgroupsforimaginaryquadraticnumberfields,na
4、melyindecompositionsoftheir2-Sylowsubgroupsintodirectsummandsofcyclicsubgroups,8-ranksofclassgroupsarethenumberofalldirectsummandswhoseordersaredivibleby8.Thispapermainlyinvestigates8-ranksofclassgroupsforimaginaryquadraticnumberfields,whereeachprimedivisoroftheirdiscr
5、iminantiscongruous1modulo4.Whenimaginarayquadraticfieldshaveeithertwoorthreeoddprimedivisorsintheirdiscriminants,wegivenecessaryandsufficientconditionsfor8-ranksofclassgroupsbeing1or2completely.Moreoverwegeneralizeaboveresultsintoalotofoddprimedivisorsintheirdiscrimina
6、nts.Allresultsarestatedintermsofcongruencerelations,Legendresymbolandthequarticresiduesymbol.Theyareveryusefulfornumbericalcomputations.Furthermore,wealsogeneralizetheremarkablereciprocitylawdiscoveredbyK.Burdeandourresultswillbesimpler,andapplyforcomputing8-ranksofcla
7、ssgroups.Keywords:classgroup,Legendresymbol,quarticresiduesymbol,genustheory,Rédeicriteria.ii承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或
8、部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。作者签名：日期：南京航空航天大学硕士学位论文第一章绪论1.1背景介绍早在1801年，Gauss在其名著《算术研究》中就提出了3个关于类数的著名猜想（见[1]），
