有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论

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1、嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会学号：101010100学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：许鸿儒申请学位：学士学位嘉应学院教务处制有理数域上的多项式的因式分解摘要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。字典关键词：有理数域,可约,因式分解ii有理数域上的多项式的因式分解AbstractInpolynomial,theresearchonrational

2、polynomialfactorizationhasanextremelyimportantposition.Determinewhetherapolynomialcanbefactoringornotisnoteasy.Accordingtothetheoryofirreduciblepolynomialsandrationalroots,weexplorepolynomialfactorizationmethod,andmakesometheinduction,consolidationandsupplements.Keywords： rationalnumberfield,reduc

3、ible,factorization有理数域上的多项式的因式分解目录1有理数域上的多项式基本内容11.1多项式因式分解的基本概念11.2本原多项式21.3不可约多项式的艾森斯坦判别法52多项式的有理根及因式分解72.1多项式在有理数域上的性质72.2多项式有理根的判定82.3多项式有理根的求法及因式分解112.4因式分解的特殊解法13参考文献15有理数域上的多项式的因式分解1有理数域上的多项式基本内容1.1多项式因式分解的基本概念在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：；在此基础上，通过类比,我们得到因式分解的一般定义：定义1.1.1把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子

4、变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。例1分解的因式在有理数域中，它的分解式是：，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义。所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。定义1.1.2给定的任何一个多项式，对于F中的任何一个不为零的元素。是的因式。也是的因式，我们把的这样

5、的因式叫作它的平凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式）。例2由定义可以知道只有平凡因式，有非平凡因式因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。15有理数域上的多项式的因式分解1.2本原多项式定义1.2.1若是一个整系数多项式系数互素，那么叫作一个本原多项式。引理1.2.1两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。证设给了两个本原多项式并且如果不是本原多项式，那么一定存在一个素数，它能整除所有系数,…,由于和都是本原多项式，所以不能整除的所有系数，也不能整除所有系数。令a和b各

6、是和的第一个不能被整除的系数。我们考察的系数,们有这等式的左端被整除。根据选择和的条件，所有系数以及都能被整除，因而等式右端除这一项外，其它每一项也都能被整除。因此乘积也必须被整除。但是一个素数，所以必须整除或.这与假设矛盾。设是有理数域上的一个多项式。若是的系数不全是整数，那么以系数分母的一个公倍数乘，就得到一个整系数多项式。显然，多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。设是有理系数多项式，选取适当的整数乘以，总可以使是整系数多项式，如果的各项系数有公因式，可以提出来，即，，其中是各项系数互质的整系数多项

7、式。15有理数域上的多项式的因式分解例3，这里。所以中的非零多项式，与中的本原多项式有紧密的联系。定理1.2.1设，且。则存在一个有理数使是中本原多项式。此外，如果有理数，使也是本原多项式，则。实际上，设，这里都是有理数且。取整数使都是整数，并令，则便是中本原多项式。此外，如果有理数，使，及都是本原多项式，则，因都是本原的，故必须是整数，并且没有素因子，从而，即。这表明，中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。定义1