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1、编号2010212004（2014一届本科）题目：有理数域上多项式不可约的判定学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：张福伟指导教师：魏平职称:副教授完成日期：2014年05月20日二O—四年五月有理数域上多项式不可约的判定张福伟指导教师：魏平（河西学院数学与应用数学专业2014届2班49号，甘肃张掖734000）摘要判断整系数多项式在有理数域上的不可约性,艾森斯坦判别法是高等代数中给出的主要方法之一.本文在艾森斯坦判别法的基础上将其推广，并补充了其它的判别方法，使得有理数域上多项式不可约的判定方法更为系统化.关键词多项式；有理数域；不可约；艾森斯坦判别法.中图分类号0152.
2、2TheDeterminationofIrreduciblePolynomialintheFieldofRationalNumbersZhangFuweiInstructorWeiPing（No.49,Class2of2014,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000）Abstract:Eisensteindiscriminantmethodisoneofthemainmethodsinhigheralgebratodeterminetheintegralcoeffici
3、entpolynomialovertherationalnumberfieldofirreducibility.Inthispaper,ImainlypromotetheEisensteindiscriminantmethodonthebasisofit,andaddotherdistinguishingmethods,makingthemethodofdeterminationmoresystematiconthefieldofrationalnumberaboutirreduciblepolynomial.Keywords:polynomial;thefieldofrationaln
4、umbers;Irreducible;EisenSteindiscriminantmethod.1引言众所周知，多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中的重要概念•在高等代数课木中多项式部分只讲述了有理数域上存在任意次不可约多项式这样一个事实，并介绍了艾森斯坦判别法.但艾森斯坦判别法只是一个充分条件,还存在着大量的不可约多项式不能用艾森斯坦判别法判别.本文在现有不可约多项式判定方法的基础之上做了一些探讨，给出了一些其它的判别方法使得有理数域上多项式不可约的判定方法更加地完善.2预备知识引理1山如果数域P上次数大于零的多项式卩（兀）不能表示成数域P上两个次数比它低的多项
5、式的乘积，则称〃（兀）是数域P上的不可约多项式.引理2m如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.引理3⑶设/（兀）=兀"+%〃+・・・+色卫0工0是一个整系数多项式，如果满足Cln-
6、>1++
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10、•则/（兀）在有理数域上不可约.引理4⑴（艾森斯坦判别法）设=°岸+%〃+・・•+々是一个整系数多项式，如果存在一个素数"，使得1.”Galt2.p
11、,Q”_2，…,，3.p2Ga0;那么/(兀)在有理数域上是不可约的.引理5⑴设/(x)=d”x"+%厂+・・・+°()是一个整
12、系数多项式，如果存在一个素数“满足1.""“；2./?I°0,坷,q(i是一个小于〃的非负整数);3.p2a6/0;则多项式/(兀)在有理数域上有次数n,+i的不可约因式.高等代数中介绍了艾森斯坦判别法，它是判别整系数多项式为不可约多项式的一个非常有用的方法，但是这个方法使用起來有局限性.下文主要介绍几种其它的判别方法，使用这些判别法我们可以判断一些无法用艾森斯坦判别法判断的不可约多项式.3有理数域上不可约多项式的判定方法3.1艾森斯坦判别法的间接应用定理1有理系数多项式/(X)在有理数域上不可约的充分必要条件是,对于任意的有理数。工0和b,多项式g(x)=f(ax+b)在有理数域上不可
13、约.证明必要性已知不可约.反证•若g(x)在有理数域上可约，即g(兀)=f(ax+b)=g{(x)g2(x)•其中&(x),心(兀)是有理系数多项式，且次数小于g(Q的次数•在上式中用丄X-2代换兀，aa所得各多项式仍为有理系数多项式，次数不变•且有aacia这说明/(兀)在有理数域上可约，矛盾•故g(Q在有理数域上不可约.充分性已知g(x)=f(ax+b)不可约.反证.若/(兀)可约，设=其中/；(%),乙(兀)为有理数域上次数小
