关于P_adic导数与P_adic积分的几点讨论_马永培

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1、é,月习.刁.l,we,we1

2、南京师大学报(自然科学版)一JL八四年第一期aid。p一aid。关于卜导数与积分的几点讨论数学系马永培一ac一ac,,spid导数与pid积分(P》2)即逻辑导数与逻辑积分在Walh分析中占有重。,、一ac一a。要地位1981年郑维行苏维官将pid导数与Pid积分的研究从有限区间推广到了,,一,一无穷区间上定义了空间L叮。co)(1(q《2)中的padic积分给出了联系强padic导数一a。,一a一a和pdic积分的重要结果本文将讨论在某种条件下函数的强pdic导数与按点pdic。,一,s-导数之间的关系另外还得到了函数的padic积分的一种表达式给出了关于Wa

3、lh。ourerFi变换的反演公式成立的条件一、定义与重要结果x、,x。、,f()定义在区间[0o)上如果对于〔0o)和式··一`一`旦PA,“。,,,闷乙(黄:)(1):二`1,__、,,、n,一a。,二{}*,当,o时极限存在则称此极限为f(x)在点x的pid导数`肠/沙L、入I,、二I卜r目U2兀iP一】=,l,2,,p一1),e=rr=,,,OA:(i0…由方程组公Ap)(01…p一1)确定j一0又“。,q,,“若`“O)“``O,`以下都简记为“L,`口式“,在“的范数意义下的极限若存吕,x)的强一ae1x在就称此极限为f(pdi导数记为D{}f():,。(x)由其Wals一oure

4、r`:函数VhFi变式(在L意义下)定义v〔P一皿,人r〔o)Vl,“`”“一n〔ZL;v〔〔0,P一匕)l〕,V:,no`Z可以证明〔L门Lx。’,goL`设f()L若存在使得I一:,。.:二oim}g(0)(Vf)(o)l.Jf.,,。.了、.、产.f(xu)V:,。(。)du,g(x)为f(x)的一ac,其中(Vf)X一g则称pdi积分记为。xI(1>f()一acr二,一。c`二,一。c`二高阶按点pdi导数f<>()高阶强pdi导数D<>f()高阶pdi积分一<)r(,l。可归纳地定义p一。dic积分和p一ad立C,:对于强导数有卞列定理山PnA若`,。·q,定理D“’`“`l``2)

5、且:inI1f(x)dx=0x=x则x(1>(D<1>r)()f()。若f,。。,定理I(1>fL(i叹q《z)卜戈1>(x(1>f)(x)一f(x)则D函数p一aidc积分的表达式,r日D<,)(x)+(日一〔日〕)w(〔日〕x)0《x1<引理1x,u)u=}W(d`,xx〕(一0w(〔日〕)F〔日〔日〕)X>1(口)一l,···=”,`,,,(。)x护,xW`k)dkp`2…,其中D()=艺w(kFk(v)=k一0Ir___〔证明〕广七les口..〔p〕r日、x,u)du=.+’二++,u,uuJW(ll}W(k〔〕)W(〔x〕)d-’〔日〕一J砂I〔日〕r〔日〕=x,,uu+,W(0)W

6、(〔x〕)+X一x,uu+Jd…W(〔日〕1)Iw(〔〕)dJ一)〔日〕1WX,`〔”〕)x,uuIW(〔〕)d〔日〕盆,x,u=,u,1当0呢<1时由W(〔〕)W(0)得日<,)一:x,uu=,x+一,x!W()dEW(k)(日〔日〕)W(〔日〕)0址一o=(,)x+一,xD()(p〔日〕)w(〔p〕)__、一+jr1一’x`’x,“u一o“0,`,二一1兰》时田士J,W(〔〕)d(j〔日〕)得rp日一〔日〕X一“)“=,xx,uu二,xx,uuJW(dW(〔p〕)!W(〔))dW(〔日〕)lW(〔〕)dJ〔p〕0二,x

7、Zx!二一W(d钾0P一胜“,,。〔证明〕由V比日得到〔2〕__u人〔〕(1一x,u。V:,。(二)二lim(1一--丁~)V;,。(u)W(x,u)du二lim)止w()d户由.J片口币。IP一胜丝p.,,.二u)du、尽一,)w(二。)du十日w(xu)d。声’Dlw(}l{(lIf、因为巴里n1刀p一诬’it,,,p一立、日生卫止d日(二,u)du、日__+Jf{【Ifx,u)du生W(J一nu’夕一。’J一nu一nPPPP一,n。,。1。。+日w二,uu()dl【{’J一np,.1「,x,uu=且从引理1可见lim丁IW()d0口,.P沙P一胜4x,。u(x,u)d。一il日w()dm

8、,V:,n(x)二l上w四所以得im【日今.1一nU口今.沙一匕U(x,。)duco上wJP一扛uroe,。(由Diihlt判别法知等式右边的广义积分收敛)----p`1一___对于a>。,,,。,二x)=01引理3令v(1一W(x,u)du,V:,。(x)=l一W(二,u)duauaul:,。,二一,,。则有im}}V(o)V(o)}}肺4.证明从略。月..司,co1〔`“,(’)x,`ux,u