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1、.,.第卷第期纯9粹数学与应用数学No2’P一aidc超越连分数袁进(西北大学数学系),摘要:本文借助于Thu-eisgee卜Roht定理的P一adi。类似ic代数数的有理退卜adPac.近定理以及一adic简单连分数的一些性质给出了卜id数是超越数的两个充分条件、、关键词:P一aidc数超越数连分数中图分类号:015.67引言及主要结果,,,在〔1〕中我们证明了卜adic代数数的逼近定理这一定理是MCugiani和Th.,义hncider定理在卜adic数域上的推广本文的目的是利用这一逼近定理构造出一些卜ic超越连分数.ad,,,.在本文中p表示一个固定的素数Q表示有
2、理数域z表示有理整数环N表示,,·,,,自然数集同时我们用Q表示P一adic数域z表示Q的整数环,“。,:2〕)对于任意Q有唯一的简单连分数表示式(参见〔:,,,一〔。。·1·2·。…-卜一气片“,+刃下二“。<”a..,,“.“·这里P,月岁寸于)卜0<<么aIt一尸、N性,p_1一卜q_1一0,p。二。。q。=1以及若定义.P。,,,._=kaa”声J—.q贝归寸,)1有递推公式pa。p。_l+p._2,.qa。q。一l+q2一一一成立,同时我们称*:19928一20收到日期刁一61一399011年袁进一。超越连分数P月尸P..==二二二〔aa二“〕..二9宁,.,
3、.。,。“一P。尸Q0Q)=l,为的a简单连分数的第个渐近分数这里2,(P在本文.,..,中我们用佃}表示一个正数的无穷序列抽}中包含着递增的无穷子序列佃卜lim。丫=co.声呻十目利用,以上符号和定义本文的主要结果是,,,,,·1令尸是一个素数:。z夕Q如果:一〔。。。1。2”〕满足条件。。笋。定理·,且对n)1不等式了,十a,aZ’a。*,尸I二a了蕊疏蕊刃(}.I月P户,.成立则:是一个P一adic超越数,,,,2p:。z,“一〔“。“:“。笋o定理令是一个素数Q如果二满足条件.加孟+。,}口不而孟可a+1},刀=12,.“引。这里选取抽}满足不等式。卜-司J
4、闷IogloglogPa.则:是一个p一id。超越数例如在以上二个定理中可取一C2C.山一这里为大于。的任意实常数二引理,,,·,。.,引理1令““zQ,“一〔“。“:“〕尸Q为“的第”个渐近分数则J.,一l以有IQ}及ax。,。’十’a。a,a。pm①Q)<(p+l)一…}P。。,a,a。’a。,:,Ifp一}Q卜pj一…一JlrJ卜扩一从一62一第九卷纯粹数学与应用数学第二期成立证参见〔2〕““,,,,,,n引理2令Q“一〔a。a:…〕如果a。特0贝I对一切Z)l,,。.max(PQ)=p证当n=1时-alao+1凡一么Pq-a-,因为。。特0,“。》l,尸:
5、>Ql用归纳法所以成立我们有。p。+lP+1_玉玉土玉=>l协。+1。。。。Qq+-aq+q一成立:“。,,,,·引理3令=〔。:二气“〕满足条件.加,·’·a。I+。,Ia:落布叮引a十1},不不,n则当适当大时不等式l·。-。巨叭、(P+1)”,芬二可)、al…1+州念J扮云石云而砂丁成立证+;矛)落,”·“,l一尸,·(P严+xl2+1)勺+x1扁罚滤衬根据引理条件,我们有,,Z,’,,”一`la})尸’,aI:aI,I冲对,n当适当大时即有.尸价+’)6、数数的逗近定理令护o是一个次数为角P一adic代数数艺,,,=伏l()K(2)表示一互异的有理数的无穷序列这里二,,,,K闭一p伪,/Q(k)尸k()笋。Q仿,特0,伍,Q仕,)二1少.称H周=max(Ipk()l,IQ田O为Kk()的高,,、,Pp尸、是三个互不相同的素数又和,是满足条件0簇又蕊1,0簇“《l,又+,·:,:,,,;,“>。的实数cccc是正常数用二表示函数.:,一5(109209109一石菇而用盖一(l)K,fK②二具有性质赶,娜夕t、,一.,.._一孟一门一`《的伍】一二伏】了p(k)l’,:`c:H一’,IQ,:落c3仕,“一’(2)l吧润lH_
7、,、._...____、`一闭,二.1二,}《C`犷}簇C(3)}K或者卜于’钾K刃!,`。:“_。撰线兰’`一logH证参见〔1〕,,5K>2是一个正数:是一个P二i。数如果不等式引理令ad,,ax一kI。一p!《m(I尸一一。一),,,,·有无限多个有理整数解尸Q=1Q>0则:是一个P一adic超越数这里(P,Q-)..这一结果是hTue一Siegel一Roth定理的p一adie类似证明参见〔3〕三定理的证明_,,二aIa”一111一3当,_.a-l!定理的证明由引理适当大时l“吮:,-l’、’’一’’月..夕一1一ZP十1P2.,.
