构建_分形微积分_苏维宜

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1、中国科学:数学2015年第45卷第9期:15871598www.scichina.commath.scichina.com构建分形微积分"献给徐利治教授95华诞苏维宜南京大学数学系,南京210093E-mail:suqiu@nju.edu.cn收稿日期:2015-01-13;接受日期:2015-04-23摘要分形函数没有Newton意义下的导数,但它仍然反映物体的运动,因此,必定有运动速度(变化率).如何给出由分形函数描述的运动的速度,构建“分形微积分”,给出刻画分形函数变化率的数学工具的任务提到了日程上.这是一个具有挑战性的有意义的课

2、题.本文在研究、比较Newton经典微积分特征性质的基础上,根据数十年在局部域分析领域的研究成果,提出建立新微积分的准则(principle),并遵循准则,以局部域Kp为底空间,构建定义在局部域上的复值函数的“分形微积分”.最后给出局部域上分形微积分的应用.关键词Newton微积分分形微积分局部域导算子积分算子MSC(2010)主题分类41A65,28A801构建新微积分的准则(principle)为构建新微积分提供一个准则,本文首先归纳Newton微积分的特征性质如下:∫(1)导算子有逆算子.导算子d有相应的逆算子—积分.它们互为逆算子,

3、dx∫∫ddf(x)dx=f(x)dx.dxdx从算子理论观点出发,这是导数所应具有的最基本的特征性质.(2)Fourier变换公式.公式[f(k)(·)]∧(ξ)=(iξ)kf∧(ξ),ξ∈Rn,k∈N是函数导数的Fourier变换与函数Fourier变换(频谱)的导数之间的关系.从信号分析观点出发,该公式揭示了导数在谱分析中所起的至关重要的作用(参见文献[1]).(3)等价性定理.等价关系(k)cf∈Lip(C2,α)⇔En(C2,f)6nk+,0<α<1,k∈N刻画导数与函数光滑性的联系:函数越光滑,可导性越高;反过来,可导性越高

4、,函数越光滑.这里Lip(C2,α)是2π周期连续函数空间C2上的Lipschitz函数类,En(C2,f)=inf∥f−pn∥C2pn∈P英文引用格式:SuWY.Constructionoffractalcalculus(inChinese).SciSinMath,2015,45:1587{1598,doi:10.1360/N012015-00016苏维宜:构建分形微积分"是用多项式pn逼近函数f的最佳逼近.从函数构造论观点出发,这是导数在函数构造过程中反映出的函数光滑性与可导性之间的关系的特征性质(参见文献[1]).(4)群论

5、与Newton力学的“殊途同归”.加群(R,+)的特征群Γ={eix:ξ∈R}与加群R同构R(Pontryagin对偶定理),其元y(x)=eix,称为特征.独立于Newton微积分,Γ与R(实数域)同时确Rdy定.另一方面,定义Newton导数后,求导运算确定一个微分方程=λy,称为固有方程;使固有方程dx有非零解的值,ξ∈R,称为固有值;固有方程的非零解,称为固有函数.奇妙的呼应是,群的特征就是固有函数,也是Fourier变换的核函数.定理1.1[2]R的每个特征y∈Γ具有如下性质:y(x)是(无穷次)连续可导函数,满足微分R方程d

6、y=λy(x),dxλ为常数.进而,特征y∈ΓR是R上Fourier变换的核函数.dy更天衣无缝的对应是,固有方程=λy就是Newton力学中反映振动现象的本征方程;固有方dx程的非零解就是本征函数;固有值就是本征值.因此,从数学科学与物理学内在联系、群论与Newton力学自然匹配的观点出发,我们归纳建立Newton微积分的框图(见图1),并作为定义新导数的一个不可或缺的依据.以上四条是Newton微积分所满足的特征性质,它们反映了导数的本质性质,再配合导数表示变化率的物理功能,共同成为建立新微积分时所应遵从的准则(principle).i

7、xξተ䜘㍗Abel㗔RRⲴ⢩ᖱ㗔Γ={e:ξ∈R}Rddxሬ㇇ᆀNewtonሬᮠሬᮠⲴFourierਈᦒޜᔿ−ixξ∫f'(x)edx=(iξ)f^(ξ)Rd=kydxപᴹᯩ〻ᵜᖱᯩ〻−ixξFourierਈᦒޜᔿf^(ξ)=∫f(x)edxRk=i,ξ∈Cപᴹ٬ᵜᖱ٬ixξy(x)=eixξξeപᴹ࠭ᮠᵜᖱ࠭ᮠFourierਈᦒѝⲴṨ࠭ᮠ图1特征群、Newton微积分、Newton力学、谱分析1588中国科学:数学第45卷第9期2局部域的基本概念与记号局部域Kp是一个局部紧、非平凡、全不连通、非Archimedes赋值、T2型的完备拓扑域

8、(参见文献[2,3]).它可以是p-series域与它的有限代数扩域(加法+与乘法×运算是按位modp,不进位),或者是p-adic域与它的有限代数扩域(加法+与乘法×运算是按位