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《巧用基底法与坐标法解决平面向量数量积问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧用基底法与坐标法解决平面向量数量积问题摘要：本文主要介绍了在求平面向量数量积时的两种常用的方法：基底法和坐标法，对这两种方法的使用条件做了适当的阐述，并通过对比对这两种方法之间的差异和联系进行了适当的分析.关键词：数量积；基底法；坐标法中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9324(2013)23-0084-02平面向量在高考中占有非常重要的地位，它不仅可以单独命题，也可以与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何相结合来考查，充分体现了平面向量作为一种工具在教材中的突出地位.而数量积作为平面向量的核心内容也就成为了各类考试的必出题.我们知道数量积ab在知道两个
2、向量的模和夹角时只需利用其定义丨a丨丨b丨cos来求，或者在知道两个向量的坐标a=(xl,yl),b=(x2,y2),时可用坐标公式ab=xlx2+yly2来求即可，但是很多问题中要求数量积的两个向量并不具备上述条件，比如：例1：在AABC中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,D是BC上一点，CD=2BD,则？摇・・■二？摇？摇分析：该题直接用定义■・■=
3、■
4、•丨■丨cosZADC求解虽说可行，但运算烦琐•我们换个角度考虑，题中已知两向量■和■的模和夹角,意味着它们的数量积值很容易求，因此如能用这两个向量作为基底表示■和■,进而转化成基底之间的数量积运算(可称之为基底法)，那
5、么这道题就容易解决了.解法如下：解：■・■二(■+■)・(■一■)=(■+■■)・=(■■+■■)・=■■£+■■・■一二一■其实很多能用基底法解决的数量积问题如果能够合理建系，利用坐标求数量积(可称之为坐标法)，也不失为一种好办法.解答如下：解：建系如图,易得A(0,0),B(2,0),C(_■,■),由・二■+■=■+■■可得■二(■,■),又■二(-■,■),即得二■・我们再细细琢磨一下，不难发现，其实坐标法不过是基底法的特殊化，就是单位正交基底法，而用坐标来处理之后的几何问题在求解过程中，特别是在求某个点的坐标时，我们可以运用直线方程求交点的办法来处理，这样会更加自然，可操作
6、性强.比如：例2：在ZkABC中,A=60°,AB=3,AC=2,D是AC中点,点E在AB边上，且AE=HEB,BD与CE交于点M,N是BC的中点，则・・■?摇二分析：该题与例1的共同点就是题中已知两个向量的模及其夹角，即有了基底，所以基底法可行，解答如下：解：取CE中点F,连接DF,易得■二■,又AE=BEB,故・=■,因此■二■,即■二又■二■一■二■■一■,所以有■=■+■=■■+■■,又■二■(■+■),即得■・■=■=■•再来用坐标法：解：建系如图，易得A(0,0),B(3,0),C(1,■),D为AC中点，故D(■,■),AE=BEB,则E(1,0),同样N为BC中点，则
7、N(2,■),接下来就缺M点坐标了.思路①同上法，■二则・=■+■=(1,■)(对学生平面几何知识要求较高)；思路②用直线CE与BD方程求交点M的坐标(学生最容易想到，体现了解几思想).综上■・■二(1,■)・(2,■)=■.以上两题所给条件，我们可能会首选基底法，而不大会先考虑建系用坐标法，因为不是正交基底，但是一旦出现正交基底，我们肯定第一反应就是选择坐标法，这也是情理之中的事情.比如：例3：在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足■二■,则・・■的取值范围是分析：由于题中出现了矩形即ZA=90°,向量■和■的模都已知，所以很容易想
8、到建系，解答如下：解：建系如图，易得A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),设■二■二xW[0,1],则M(2,x),N(2-2x,1),故・•■=4-3xW[1,4_.例4：已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZADC二90。，AD二2,BC=1,P是腰DC上的动点，则丨・+3・
9、的最小值为解：建系如图,易知D(0,0),A(2,0),设CD二m>0,则C(0,m),B(1,m),再设P(0,p),[0,m],则易得■二(2,-p),■=(1,m-p),因此有丨・+3・
10、=
11、(5,3m-4p)
12、=■,显然当p二■mW[0,m]时，I・+3・Imin=5.由此可见，基
13、底法和坐标法在平面向量数量积的运算过程中有着非常重要的作用，如果我们能够在平时的教学过程中，不断地强化这两种思想方法的运用，并让学生仔细体会它们之间的联系和区别，熟练掌握，那么学生对类似问题的处理便有了有效的方法和足够的解决问题的信心，这对于提高学生解题能力和学习成绩将会有很大帮助.
