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《向量的数量积——坐标化解决向量问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第37炼向量的数量积——坐标法在处理向量数量积问题时，若儿何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的处标，则考虑将向量处标化，一旦所求向量用处标表示，其数量积等问题迎刃而解。一、基础知识1、向量的坐标表示（1）平面向量棊本定理：在平面中，如果两个向量玄,&不共线，则対于平面上的任一向屋a，存在x,ye/?,使得a=xex+ye2,II这种表示唯一。其中（弓,^）称为平面向量的一组基底，而有序实数对（%,y）称为在（石,可基底下的坐标（2）为了止向量能够放置在平面直角处标系屮，我们要选择一组特殊的基底V］,在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度
2、上，
3、/
4、=
5、}
6、=1,由平面向量基本定理可得：平面上任一向量方，均^a=xi+y~j,其处标为（兀y）,从图上可观察到恰好是将向量方起点与处标原点重合时，终点的朋标（3）已知平而上的两点朋标，也可求得以它们为起终点的向量朋标：设心,必）』（兀2』2），则而=（兀2-心力一）1）（可记为“终”一“起”）,所以只要确定了平面上点的处标，则向量的处标白然可求。另外B三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设°=（兀］,必）,乙=（兀2，歹2），则有：（1）加减运算：a±b={xx±x2,y{±y2）（2
7、）数乘运算：加=（/1尢］,心］）（3）数量积运算:a*b=x}x24-）［y2（4）向量的模长：a=+才3、向量位置关系的判定：（1）平行:a//boxxy2=x2y}（2）垂直：a丄boa•b=0<=>+必旳=0（3）向量夹角余弦ffh4.常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标,所以考虑利用建系解决数量积问题,如图建系：BDBDX下面求E坐标：令E（x,y）:.CE,CA由CA=3CE可得-3
8、x--21x=—3巧AD=,BE=(5©<2丿66/答案：ADBE=-~4例2：（2012江苏，9）如图，在矩形ABCD屮，
9、AB=迈,BC=2,点E为BC中点，点F在边CD上，若殛•乔=©,则疋•丽的值是思路：本题的图型为矩形,且边长已知,故考虑建立直角坐标系求解,E则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一•道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备対称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带冇直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30°,45°,60j20°等）二、典型例题：例1：在边长为1的正三角形ABC+，设BC=2BD,CA=3CEf则ADBE思路：上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题
10、,本周仍以此题为例,从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形,CB、冷,0）cL,0以A为坐标原点如图建系：B(V2,0)，设F(s),由F在CD上可得尸2,再由而•乔=0解出x:lB=（V2,0）,AF=（x,2）,:,ABAF=yf2x=y/2^x=i・・F（1,2）,E（a/2,1）.•忌=（雄1）,丽=（1_02）/.A£-BF=V2（1-V2）+2=V2答案：AE~BF=y[2例3：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于M,点P是MD的中点，若
11、而
12、=2,•CAD=且ABAD=60,则APCP思路：本题抓住ABAD=60这个特殊角，可以考虑
13、建立坐标系，同时由AB=2,=1可以写出各点坐标,从而将所求向量坐标化后即可求解解：以A3为兀轴，过A的垂线作为y轴可得:5(2,0),D1亘,c22/<2丿答案:1717T例4：已知肓角梯形ABCD中，AD//BC.ZADC=90AD=2,BC=1.P是腰DCk的动点，贝ij网+3网的最小值为D思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出PA+3PB的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出B坐标，可先设高为力。解：以AD^CD为轴建立直角处
14、标系，设梯形高为〃则A（2,0）,B（l,/v）,设动点P（O,y）,则PA=（2-yPB=^h-y）.•.用+3丙=（5,3力_4y）PA+=^（5）2+（3/?-4y）2>5（等号成立：3/?=4y=>y=
15、/?）答案：5小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例5：给定平面上四点O,A
16、,B,C满足OA=4,OB=3,OC=2,丽•况=3
