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1、应用题（一）（一）圆弧上的动点问题例1．(2013苏州期中18题16分)如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为平方米.OABCD(I)按下列要求写出函数关系式：①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式.(II)求梯形部件ABCD面积的最大值．【难点分析】（1）根据题目要求，分别利用长度和角度作为变量来建立函数关系（2）对函数最值的计算【突破策略】对于圆弧上的动点，考虑建系、选择长度和角度作为变量建模，对于最值问题可以通过求导来解决【解析】如图所示,以直径所在的直线为
2、轴,线段中垂线为轴,建立平面直角坐标系,过点C作于E,(1)①∵,∴,∴②∵,∴,∴,(2)(方法1)∴,令,则,令,,(舍)∴当时,,∴函数在(0,)上单调递增,当时,,∴函数在(,1)上单调递减,所以当时,有最大值,答:梯形部件面积的最大值为平方米.(方法2),17/17令,∴,,∴,(舍).∴当时,,∴函数在(0,)上单调递增,当时,,∴函数在(,1)上单调递减,所以当时,答:梯形部件ABCD面积的最大值为平方米.(方法3)∴,令,得,即,(舍),∴当时,,∴函数在上单调递增,当时,,∴函数在上单调递减,所以当时,答:梯形部件面积的最大值为平方米.【
3、画龙点睛】圆、半圆、扇形的内接问题，通常两种解题策略：一、利用长度建立等量关系，二、利用角度来建立数学模型变题1.(图（3）就是2013·南京二模)如图，某广场中间有一块扇形状绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB＝60°.广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE.问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．【解析】由题意知，四边形是平行四边形．∵∴连结,设方法一：设则17/17在中，由余弦定理，得即……………………4分所以…………10分解得当且仅当时取等号，所以的
4、最大值为此时弧的中点．答：点C应选在弧的中点处，才能使得修建的道路总长最大．…………14分方法二：设所以在中，根据正弦定理，得即…………………4分所以所以………6分……………10分因为所以所以当即时，取得最大值此时弧的中点．答：点C应选在弧的中点处，才能使得修建的道路总长最大．…………14分17/17变题2.（闸北区2015届高三上期末）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段
5、上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．解：（1）由已知条件，得……………………………1分又∵……………………………2分又∵当时，有……2分∴曲线段的解析式为．………1分（2）由得…………2分又…2分……………………1分∴景观路长为千米……………1分(3)如图，……………………………………1分作轴于点，在中，……………1分在中，…………………1分∴……………1分…
6、………………1分17/17…………………2分当时，即时：平行四边形面积最大值为…………………1分（二）角的问题例2.（江苏2010年14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【难点分析】本题是与角有关的最值应用问题，难点在于如
7、何用题中所给变量表示出角-的三角函数值。【突破策略】一、在三角形中利用解三角形直接求解与-的相关三角函数值；二、通过和差构造出所求角，利用两角和差的三角函数公式进行求解。【解析】（1）由得，同理：，。∵AD－AB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，。17/17∵，（当且仅当时，取等号），∴当时，最大。∵，则，因为在上是增函数,∴当时，－最大。故所求的是m。【画龙点睛】求解与角度大小相关的应用题，首先简化相关几何背景图形，其次，如果所求角可以直接在图形中直接用相关条件求解，则往往利用解三角形或三角函数定义进行求解；
8、否则，则通过角的组合，结合三角函数和差角公式求解。变题1．（苏北三
