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时间:2019-02-16
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1、导函数含参问题的基本讨论点1、求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。例1:设,函数,试讨论函数的单调性。2、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。例2:已知是实数,函数。(1)求函数的单调区间;(2)设为在区间上的最小值。①写出的表达式;②求的取值范围,使得。3、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。例3:已知函数
2、,其中。(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求函数的单调区间与极值。例4:设函数,其中,求函数的极值点。练习1:已知函数,其中常数,是奇函数。(1)求的表达式;-9-/9(2)讨论的单调性,并求在区间上的最大值和最小值。练习2:已知函数。(I)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,讨论的单调性。练习3:已知函数。(1)当时,讨论的单调性;(2)设,当时,若对任意,存在,使不等式成立,求实数的取值范围。-9-/9导函数含参问题的基本讨论点1、求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分
3、解因式),从而引起讨论。解:对于,分段进行研究。对于,对分类:当时,,∴函数在上是增函数;当时,,令,得或(舍),函数在上是减函数,在上是增函数;对于,,对分类:当时,,函数在上是减函数;当时,由,解得;函数在上是减函数,在上是增函数。2、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。解:(1)函数的定义域为,,-9-/9由得。考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分及两种情况进行讨论。当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为;当时,由,得;
4、由,得;因此,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为。(2)①由第(1)问的结论可知:当时,在上单调递增,从而在上单调递增,所以;当时,在上单调递减,在上单调递增,所以:当,即时,在上单调递减,在上单调递增,所以;当,即时,在上单调递减,所以;综上所述,②令。若,无解;若,由解得;-9-/9若,由解得。综上所述,的取值范围为。3、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。解:(1)当时,曲线在点处的切线方程为;(2)由于,所以
5、,由,得。这两个实根都在定义域内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数的取值分和两种情况进行讨论。当时,则。易得在区间,内为减函数,在区间为增函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。当时,则。易得在区间,内为增函数,在区间为减函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。点评:以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更
6、复杂一些了,需要灵活把握。例4:设函数,其中,求函数的极值点。-9-/9解:由题意可得的定义域为,,的分母在定义域上恒为正,方程是否有实根,需要对参数的取值进行讨论。当,即时,方程无实根或只有唯一根,所以在上恒成立,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,从而函数在上无极值点。当,即时,方程,即有两个不相等的实根:。这两个根是否都在定义域内呢?又需要对参数的取值分情况作如下讨论:当时,,所以。此时,与随的变化情况如下表:由此表可知:当时,有唯一极小值点。当时,,所以。此时,与随的变化情况如下表:-9-/9由此表可
7、知:当时,有一个极大值点和一个极小值点。综上所述:当时,有唯一极小值点;当时,有一个极大值点和一个极小值点;当时,无极值点。练习1:-9-/9练习2:解:(1)当时,,所以因此,曲线在点处的切线方程为;(2)因为,所以,,令当所以,当,函数单调递减;当时,,此时单调递;当,即,解得当时,恒成立,此时,函数在上单调递减;当-9-/9时,单调递减;时,单调递增;,此时,函数单调递减;当时,由于,时,,此时,函数单调递减;时,,此时,函数单调递增。综上所述:当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增;当时,函数在上单
8、调递减;当时,函数在上单调递减,在上单调递增,函数上单调递减。-9-/9
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