函数的极值含参问题课件.ppt

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1、1.3　导数在研究函数中的应用第一章1.3.2函数的极值与导数1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（

2、4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值求导—求极点—列表—求极值或求导---解导函数不等式得单调区间---求极值3．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、右两侧________的点而言的．(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数____

3、____极值．附近定义域内没有(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极_______值．(如图)大[解析]f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)题型二.求参数的值或取值范围问题特别提醒：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解

4、后必须验证充分性．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a、b的值依次为________．[答案]4－11例3.跟踪训练：[正解](在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.题型三.分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用已知函数f(x)

5、＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．跟踪训练：(2)∵f(x)在x＝－1处取得极大值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，

6、结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．练习：已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－2,2)内，既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是________．