含参导函数零点问题的几种处理方法.doc

《含参导函数零点问题的几种处理方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、含参导函数零点问题的几种处理方法杭州市余杭第二高级中学（浙江省杭州市余杭区人民大道1501号）马先锋摘要：函数的导数也是一个函数，称为导函数。导函数的零点决定着原函数的很多重要性质，如单调性，极值，最值等。因此研究导函数的零点有着极其重要的意义，本文主要就含参导函数中零点的几种处理方法作一阐述。导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，它具有深刻的内涵与丰富的外延。以函数为载体，以导数为工具，是近年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。导数在求函数的单调性及极、最值等方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个

2、基本点——导函数的零点，因为导函数的零点，既是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点，可以说如果能把握导数的零点，就可以抓住原函数的性质要点，因此，导函数的零点问题对研究函数与导数的综合问题意义重大。但引入导数之后，高中阶段可处理的函数类型大大增加，特别是含有参数的函数问题，导函数的零点也变得更为复杂，有些函数的零点甚至是不易求出的，基于此，本文就含参数的导函数的零点问题，谈谈几种基本的处理方法。方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。（1）因式分解求零点例1讨论函数的单调区间

3、解析：即求的符号问题。由可以因式分解，（Ⅰ）当时，不等式即为，此时不等式的解集为（Ⅱ）当时不等式可以化为，只需比较与2的大小①若，则，则不等式的解集为②若，则不等式为，不等式的解集为③若，则，此时不等式的解集为（Ⅲ）当时，不等式可化为，由于，故不等式的解集为综上得：略（2）求根公式求零点例2（2006全国Ⅰ文）设（1）若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在[1，4]上的最小值为，求在该区间上的最大值解析：（1）先求出带参数的增区间，令，无法因式分解，讨论的符号，时，无单调增区间，不合题意。，即时，求出，故单调增区间为，所

4、以要使函数在存在单调增区间，只需，解得,满足,故所求的取值范围为（2）则时，由（1）知函数在上递增，在递减，因而最小值在时取得，由于，，，所以最小值为，所以，最大值则在=2取得，所以例3（2010高考浙江理科）已知是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点．(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：=ex(x-a)令于是，假设（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（1）当x1a且x2

5、a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1

6、、根的分布等等），这里就不再一一赘述。像这样能直接将导函数的零点进行求出，对于后续的单调区间和最值的讨论都会带来较大的方便。方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。例4讨论函数，，的极值情况解析：，只能解出的一个零点为,其它的零点就是的根，不能解。注意到是这个方程的根，且函数显然单调递增，所以是的唯一零点，因此对于，只要考虑0与的大小关系即可。（1）当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以当时取极大

7、值，在时取极小值（2）当时，，故在单调递增，所以无极值（3）同理可得：当时取极大值，当时取极小值。例5（2011高考浙江理科）设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的恒有成立（注：为自然对数），解析：当，恒成立，当时，将不等式分离参数化为，由在单调递增，得,令，由则问题等价于，,=0的根较难解出，导致的符号较难判断，细心观察，不难发现恰好是的零点，但我们并不知道有没有其它的零点，注意到时为增函数，所以在也为增函数，且知时，，时，，故当时，取极小值即最小值所以，所以a的取值范围为。评注：上述思路在于很难用常规方法

8、求出零点时，我们可以尝试用试根法，例如等逐一带入，再验证其唯一性，从而可求原函数的单调区间、极值或最值等问题。方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求，①当时，对于任意的实数,