含参不等式恒成问题的讨探

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1、含参不等式恒成立问题的讨探教学目标：1、知识与技能目标：了解含参不等式概念；掌握含参不等式恒成问题几种解法，并能灵活运用。2、过程与方法目标：培养学牛分析、归纳、综合等逻辑思维能力，数形结合能力，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。3、情感、态度与价值观：进一步渗透从特殊到一般，从简单到复杂的辩证观点。教学重点和难点求解含参不等式各种策略教学过程一、提出问题：恒成立问题是数学中常见问题，也是历年髙考的一•个热点。大多是在不等式中，己知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。问题：设函数/（x）=ln（x2+

2、6ZX+6Z）,其中。为实数，若/（兀）的定义域为R,求实数Q的取值范围。（给出问题后，学生很快作出反应，使课堂变的活跃，气氛和谐，每位学生均积极参为。）学生在已有认知基础上，无意识地搜索出和关的信息，即根据对数的性质及初中对一元二次函数的理解，能很快的将问题转化为：F+QX+Q〉0在R上恒成立，求实数d的取值范围，所以△=/—4。vO=>O

3、到了“恒成立”问题，--般与不等式、函数、导数等内容结合起來，是近儿年高考热点。引出课题，并抓住时机引出变式。二、探讨求解策略：变式1:若不等式兀$+QV+G〉0在无丘［1,2-上恒成立，求实数d的取值范围。（提醍学牛注意问题的差界，给学牛充分的时间进行讨论，然后请学牛來回答。）(学生1)：令/?(%)=x1+or+d,（受上题的影响，许多学生可能会发牛以上错解，主要是由内隐学习负作用的影响，教师可以借助二次函数的图彖，让学生亲自体验错误原因，从而使其在大脑记忆中留下深刻印象,同时也引出了正确的解法。）(学生2)：令h(x)=x2+ax+

4、a=、2ciXH2丿a+d4(1)当—<1»即：a>—2时，h(x).=/?(1)>0ci>—2/nun/£/(2)当1S—纟52,即：-42,即：av-4时，/?(x)m，n=/i(2)>0=>>——.•.aw023由(1)、(2)、(3),得:cl>—2教师：解此题的本质是什么？(引导学生进行归纳总结)(学生3)：求函数的最值。教师：(教师要及时给予肯定，鼓舞学生信心)对，非常好！但此解法需要分类讨论，比较麻烦，有没有更好的解法呢？(引

5、导学牛进一步进行思考)~x(学生4)：•.•兀$+q兀+°>0=(兀+1)°〉_x2vxe[l,2]2令/(x)=—问题转化为求/(x)maxXI1•m2x(x+l)-x2x2+2xvxg[152]/•/f(x)<0所以/(兀)在［1,2］上单调递减A^(X)max=^(0=-

6、1a>——2或/(%)=-(兀+1)2—2(兀+1)+1X+1_(x+1)+2_1x+1・・*[1,2].2——2教师：比较这两种方法，哪一种方法较简单?让学牛进行归纳：这两种方法虽然都是构造两数求最值，但方法二

7、较简单，方法二避教师：比较这两种方法，哪一种方法较简单?让学牛进行归纳：这两种方法虽然都是构造两数求最值，但方法二较简单，方法二避开了分类讨论，所以在含参不等式中，一般地，若能分离参数的，先分离参数，再转化为函数求最值,BP：若a>f(x)恒成立，只须求出/(x)mx，贝if叽j若⑴恒成立，只须求II!/(x)^，则6/<但若分离参数较困难，那我们只能象方法一这样直接构造函数求最值，如：上题中不等式改为：疋+/兀+Q〉o。(让学生来归纳总结，即可培养学生归纳总结能力、思维的严密性，同时可以增强学生的口信心和兴趣。高三复习课应充分体现学生的

8、思维过程，应让学生畅所欲言。)(学生5)：T兀？+ox+a>0=>(兀+1)°〉-%2令y{=-x2,y2=«(x+l),问题转化为：当%G[1,2]时"，y}=-X2图彖总在)，2=d(x+l)图象下方，求。的取值范围。由于=-x2图象是确定的，而y2=tz(x+l)图象是过定点(-1,0)的直线系，可利用几何画板演示，学生观察图彖得：a>kAP=-~(学生6)：x2+ax+a>0f贝ij(1)A=a2-4a<0=>00=>a<0或。>4时，

9、x<2a+~-———<1=>yja2-4av2+d=>a>-丄，所以一丄4；222(3)△=/_4。=0=>。=()或。=4时，不等式恒成立；由(1),(2),(3)得：a>—