含参函数的两域问题.doc

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1、含参函数的两域问题李兆阳何军胜（甘肃省会宁县第一中学）在函数一章中，同学们学已掌握了通过函数解析式求函数的定义域和值域的常规方法。一般地，函数的定义域就是使函数式有意义的自变量所以取值的集合，而函数的值域就是在定义域的制约下通过解析式计算所得所以函数值的集合，反应在函数的图象上，通过图象上的点向x轴作投影，x轴上所以这些投影值的集合就是函数的定义域。从图象上的点向y轴作投影，y轴上所以这些投影值的集合就是函数的值域。反过来，已知一个含参函数式的定义域或值域求参数的取值范围问题，它是函数中两域的逆向思维，而且这类问题中有些条件和结论常常是看似相近

2、，而实质不同。若不仔细审题，不进行概念辨析，则会出现理解上的混淆，解题时会出现混乱现象而导致错误，所以今天这节课我和大家通过具体的例子共同来探讨分析辨别——含参函数的两域问题。（板书）例1：已知函数f(x)=x2+2mx-m，（1）函数值域为[0,∞)，求实数m的取值范围；（2）函数值y[0，∞)，求实数m的取值范围。分析：这道题首先要分清函数的值域和函数值的区别。先看第（1）问，函数的值域就是全体函数值的集合，值域为[0,∞)，即y≥0,由此可得函数的最小值为0（ymin=0）,而f(x)是二次函数，图象是开口向上的抛物线，所以顶点的纵坐标为

3、最小值0（画出图象，图（1））。（边讲边解，写出解题过程）解：（1）∵值域为[0,∞)，∴y≥0∴ymin=0∴二次函数f(x)=x2+2mx-m对应的方程x2+2mx-m=0的判别式∴4m+4m2=0图（1）∴m=0或m=-1解决这一问题的关键就是将值域划归到求函数的最小值，再结合函数图象去求解（红笔框出y≥0）。再看第（2）问，函数值y[0，∞)，能说明函数的值域是y[0，∞)吗？请同学们思考。这肯定不是，它是说明函数值只要在[0，∞)这个范围内就行，而这个范围[0，∞)内的值并不一定都是函数值，即这个范围内的值有些是函数值，有些值可以不是

4、函数值。这就说明函数的值域是[0，∞)这个范围的子集（值域C[0，∞)）,反应在函数的图象上，是指函数图象（图（2））不能在x轴下方,即判别式。(边讲边解答)（2）∵函数值y[0，∞)，则值域C[0，∞)∴函数图象不能在x轴下方∴，即4m+4m2≤0图（2）∴m≤0解决这一问的关键就是理解函数的值域是所给区间[0，∞)的子集，再转化为函数图象不能在x轴下方，再结合图象解（红笔框出值域C[0，∞)）。通过这道题，我们必须辨别清楚函数的值域与函数值所属范围是有区别的，而这个问题就是函数的值域与函数值的范围（板书），要分别抓住解决的关键。练习1：已知

5、函数y=-3x2-(2m+6)x+m+3，（1）当函数值域为非正实数集时，求实数m的取值范围；（2）当函数值为非正实数集时，求实数m的取值范围。提示（1）∵y≤0∴ymin=0即故∴整理得∴(2)值域C,∴即∴∴例2已知函数，(1)定义域为R，求实数的取值范围；(2)值域为R，求实数的取值范围。分析：这道题是对数函数与二次函数复合的对数形式的复合函数，首先要分清定义域和值域都为R的区别。第一问中，定义域为R，就是自变量取任何实数时，函数式都有意义，即真数式。换句话说，按照求定义域的方法，需要解不等式，而定义域为R，说明此不等式的解集为R，又此不

6、等式中二次项系数含参数，则对进行讨论。（边分析边写解答过程）解：(1)定义域为R，则不等式ax2+ax+1>0的解集为R①当时，不等式为1>0恒成立（说明时，不等式在R集上恒成立）②当时，（图（3））由题意可知图（3）∴∴综合①、②可得解决这一问题的关键是将问题转化为不等式的解集为R，再讨论二次函数系数。利用函数图象分析。再看第二问，函数的值域为R与定义域为R有区别。函数值可取R集上的任何一个值，可由里外层函数分析。设，则。由外层函数的图象（图（4））可知：当时，，此时，需要真数必须取遍上的所有值，方能保证，图象为连续的。否则对数函数图象不连续

7、，那么在中，图（4）通过图象分析（图（5））：图（5）图（6）图（7）若，则从0到抛物线顶点纵坐标值之间没有取到值，而对数函数在这一段中没有图象（图（6）），故图象不连续，所以应该即抛物线图象下移（图（7））与轴相交，才能保证恒取正实数，应为，此时定义域不为R集，由真数为正，此图象中轴下方的图象自然不取，当然也要对二次项系数进行讨论。（2）∵值域为R，则u=ax2+ax+1必须取遍所有正实数，①：时，，不符合题意（只取了一个值，而不是所有正实数）②：时，∴∴综合①、②可知。解决这一问题时用图象分析，关键是里层函数，即真数需保证取遍每一个正实数，

8、转化为图象分析，应为。通过这道例题我们必须清楚对数形式的复合函数的定义域和值域都为R集的问题的求解思路。由概念不同得解决的方法不同。注意解决的关键：定