例谈配凑法在计算及不等式中应用

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1、例谈配凑法在计算及不等式中应用所谓配凑法就是在解题过程中，对某些数学题同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子，或者给式子左右加减同一个式子，或者有目的地编造一个式子，使要解证的式子能出现某种特定的形式，或具有某种特性，使问题向特定的方向转化，最后到问题的解决，配凑法是一种启发思维的好方法。高中数学知识模块中多次出现配凑法的应用，现总结如下：、计算中的配凑（一）复数运算中“添加”配凑例1•二分子分母分别乘以-i,即可约去5-4i,最后结果为。（二）组合数计算“变换”配凑例2.计算1!+2-2!+3•3!・・・+n-n!分析：n•n!可以拆分成：（n+1）!~n!,・••各项均可裂项：

2、原式二2!-1!+3!-2!+4!-3!+・・・（n+1）!-n!=（n+1）!-1（三）二项式定理展开式“逆用”配凑例3.=解析：逆用二项式定理展开式上式可以变形（3-1）n,即2no二、不等式中的配凑(一)不等式求最值(2011重庆高考)若f(x)二x+(x>2)在x=a处取得最小值，则a=CA.1+B.1+C.3D.4解析：Tx〉？，即x-2>0,利用基本不等式求最值，需满足“一正二定三相等"，可通过"添加”-2,变形为X-2++224,当且仅当x-2=,即x=3时，f(x)取得最小值4o由(a>0,b>0)推广到(a>0,b>0,c>0)三个数的基本不等式同样遵循“一正二定三相等”

3、，在解题过程中为了使得其满足“定值”，同样需要“配凑”系数，已达到解题目的。(一)不等式证明，配凑在“均值”例4•已知a、bWR+,求证：+2分析：当a、bWR+,可以想到使用均值定理，利用以下配凑；法一：添加：两边同加，即证：+++22()•••左边$2+2二右边，当且仅当二且二即a=b时“二”成立。・・・原不等式成立。法二：添加：两边同乘，即证：(+)()2()2左边二+a+b22+a+b二右边，当且仅当即a=b时“二"成立.•.原不等式成立；例5•已知a>0,b>0,c>0且a+b+c二1,求证：(1)o2+b2+c22；(2)<证明:(1)Va+b+c=l,可以将1均分给a、b、c

4、,则a2、b2、c2各自配凑，即证：a2++b2++c2+2+,利用重要不等式及不等式的可加性：a2+^a①b2+2b②c2+$c③①+②+③则a2++b2++c2+$+成立。(2)给a、b、c各自配凑，即证W=l,利用均值不等式及不等式的可加性：W①W②W③①+②+③则w=l,原不等式得证。(一)数学归纳法证明不等式例6.数学归纳法证明：x2n-y2n(neN*)能被x+y整除。采用"添加"的思想：10.n=l时，x2~y2能被x+y整除；20•假设n二k(k^N*)时，x2k-y2k能被x+y整除，则n=k+l时，x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k-x2y2k+x2y2k=

5、x2(x2k-y2k)+y2k(x2~y2)x2n-y2n（n^N*）能被x+y整除综上所述，x2n-y2n（n^N*）能被x+y整除参考文献：1.《高中课程标准实验教科书数学》（必修4）+（选修2~2,2-3）+选讲（4-4,4-5）人民教育出版社.2.《2012年成才之路》•人民日报出版社.3.《红对勾讲与练》.中国教育电视台合作伙伴.