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1、实用标准文案空间向量的坐标表示 [本周重点]：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式，距离公式。 [本周难点]：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。 [知识要点]： 一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示 在空间直角坐标系O一xyz中,以为单位正交基底,对空间任一点A,对应向量,存在唯一一组有序实数组x、y、z，使，则在空间直角坐标系中，点A的坐标为(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标；y叫做点A的纵坐标；z叫做点A的竖坐标.向量的坐标为(x,y,z)。 （1）空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O
2、和一个单位正交基底（按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。 （2）空间任一点P的坐标确定的办法如下：作P在XOY平面上的射影点，求出在XOY平面内的坐标（x，y，0），求出并确定符号即z，得坐标P（x，y，z）。 二、空间向量的直角坐标运算： 设则 (1)+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2)-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)=a1b1+a2b2+a3b3. (4)//或.精彩文档实
3、用标准文案 (5)a1b1+a2b2+a3b3=0. (6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 三、夹角和距离公式： 1、向量与的夹角：设则 . 注意： （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是 (2) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意这些角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 2、两点距离公式：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点，则 两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 3、平面的法向量：如果表示向量的有向线
4、段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作.如果,那么向量叫做平面α的法向量 四、利用向量的坐标理论完成解题的程序： 建立空间直角坐标系O-xyz，对空间图形中的向量进行量化处理，用坐标(x,y,z)进行表示.利用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应，完成解题过程. 重点例题讲解：精彩文档实用标准文案 例1．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。设 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若向量与互相垂直，求k的值。 分析： （Ⅰ）利用数量积定义求cos，再求； （Ⅱ）先求出与坐标表示，利用数量积为0求k
5、 解： （Ⅰ）， （Ⅱ），， 例2．已知ΔABC中，A(2,-5,3),,,求其余顶点、向量的坐标及∠A的大小. 解： 设B（x,y,z），C（x1,y1,z1）， ∵ 精彩文档实用标准文案 ∴ 解得 ∴B(6,-4,5). ∵ ∴ 解得 ∴C(9,-6,10). ∵=(-7,1,-7). ∴ ∴ ∴. 点评：在求角时，如果不是特殊角，应考虑用反三角函数来表示. 例3．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点。求证：A1P⊥平面DMN。 分
6、析：证明A1P与平面DMN垂直有两种方法：一是证明A1P与平面DMN内两条相交直线垂直；二是证明A1P与平面DMN的法向量平行。 证明： （法一） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则D（0，0，0），A1（2，0，2），P（0，1，0），M（0，2，1），N（1，2，0） ∴向量 ∴ 精彩文档实用标准文案 即直线A1P⊥DM，A1P⊥DN，又∵DM∩DN=D ∴A1P⊥平面DMN （法二） 建立空间直角坐标系如图，各点、向量的示法同法一，设平面DMN的法向量为=（1，x，y） 由（1），（2）解得 又
7、 ∴ ∴⊥面DMN 即直线A1P⊥面DMN 点评： （1）利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标； （2）对空间任意一点A求其坐标的一般方法：过A作z轴的平行线交平面xOy于B，过B分别作x,y轴的平行线，分别交y,x轴于C、D，则由的长度和方向便可求得点A的坐标. 例4．如图为直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点； （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求证：A1B⊥
8、C1M。 解： （Ⅰ）如图建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0）， C
