正余弦定理与三角形形状判断附答案

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1、一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边(或角)之间的关系，进一步判断。二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边(或角)Z间的关系，使3个未知量减少为2个未知量Z间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(n-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。1、己知在△ABC中，b=c^cosAf试判断△ABC的性状。•・•h=ccosA・•・2b2=2hc•cosA=b2+c2-a2

2、.-.a2+/?2=c2:.AABC为直角三角形2、已知在AABC中，角A、B均为锐角，HcosA>sinB,试判断ZABC的形状。vcosA>sinB71:.cosA>cos(B)2・・・A

3、4、已知在△ABC'P，2sinA*cosB=sinC,试判断△ABC的性状。•/2sinA•cosB=sinC•••2a•cosB=c2accosB=c2=a2^c2-b2:.a—b/.AABC为等腰三角形5、已知在AABC中,sinA=2sinB・cosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断AABC的性状。sin2A=sin2B+sin2C:.a2=/?2+c2•・•sinA=2sinB-cosC・•・a=2/?-cosC・•.a2=2ab•cosC=a2+b2-c2・••b=cAABC为等腰直角三

4、角形6、己知在AABC中，(a+b+c)(b+c・a)=3bc,且sinA=2sinB・cosC，试判断厶ABC的性状。•・•sinA=2sinB•cosC・•・a=2b•cosC.•・a2=2ab•cosC=a2+b2-c2.h=c(a+b+c)(b+c-a)=3bc・•・(2b+a)(2b-a)=3b2a-b/.AABC为等边三角形7、已知在AABC中，ZB=60。，且b2=ac,试判断AABC的性状。•・・ZB=60°_1tz2+c2-b2/.cosB=—=22acac=a~+c?—b~=cr+c~—ac

5、:.(a—c)2=0:.a=c・・・AABC为等边三角形8、己知在AABC中，ZB=60°,且2b=a+c,试判断AABC的性状。•••ZB=60°22ac(d+C)24•••4ac=4a2+4c2-a2-c2-lac:.(q-c)2=0:.a-c・•・△ABC为等边三角形9、已知在△ABC中，竺△二竺色二竺£,试判断△ABC的性状。abcsinA••.cosBcosCa•••sinB二bc=cosB,sinC=cosC,B=C=-4AAABC为等腰直角三角形10、已知在ZkABC中,(a2-h2)•sin(A

6、+B)=(tz24-Z?2)•sin(A-B),试判断AABC的性状。•・•(a2-/?2)«sin(A+B)=(a2+Z?2)•sin(A-B)(a2-/?2)-sinC=(a2+/?2)•(sinA-cosB-sinB•cosA)/.(a2-b2)-2c2=(a2+/?2)•(2ac-cosB-2bc-cosA)・•・(a2-/?2)-2c2=(672+/?2)-[(6Z2+c2-Z?2)-(Z?2+c2-672)]・・・(a2-b2c2=(a2-^b2)a2-b2)/.tz2—h2=0或/+b2=c2A

7、ABC为等腰三角形或直角三角形11、在厶ABC中，(d+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3a・sinB,且方・cosA=a・cos3,试判断AABC的性状。•/b•cosA=a^cosB/.sinA•cosB—sinB•cosA=0・・・sin(A-B)=0A=B=>a=h(a+b+c)(sinA+sinB—sinC)=3d•sinB:.(2d+c)(2a-c)=3a24a2—c2=3a2:.a-c:.AABC为等边三角形12、已知在AABC中，a2tanB=Z?2tanA,试判断AABC的性状。•・•

8、a2tanB=b2tanAa2bb2ci•—••cosBcosAacosBsinA•__—bcosAsinB•••2sinAcosA=2sinBcosB•••sin2A=sin2BJTA=a=b或2A+2B二龙=>A+B=—2AAABC为等腰三角形或直角三角形abBcos—cos—2213、已知在ZABC中,—7,试判断ZABC的性状。cos—2Acos2一Bcos2