高中数学第一章解三角形11正弦定理和余弦定理自主训练新人教b版必修5

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1、1.1正弦定理和余弦定理自主广场我夯基我达标1.在△ABC中，260°,a=V13，则d+b+csinA+sin3+sinC等于(8V3"sT2V393)D.2V7rh题意,C所对边的长分别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若)B.—3A.1B.2C.V3—1D.V3思路解析：由比例的运算性质，知sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC-ihaVT32V39sinA答案:B2.AABC的三内角A、B、P〃q,则角C的大小为(A.—6思路解析:p/7q=>(a+c)(c-a)=b

2、(b-a)=>b2+a2-c2=ab,利用余弦定理，得2cosC二1,即厂1「兀cosC=—C二—•23答案:B3.在AABC中，若—则△八区是()cosAcosBcosCA.直角三角形B.等边=角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形思路解析：设a■-bc-k,则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入sinAsinBsinCa_hc得Sin人sinBsinC—■cosAcosBcosCcosAcosBcosC于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,・・・A二B.同理,B=C,C二A

3、.答案:B4.在△ABC屮，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A二三，a二JLb二1,则c等于()3思路解析：由正弦定理，得sinB=—,又a>b,所以A>B,故B=30°.所以C=90°•故c二2.2也可以利用b2+c2-a2=2bccosA求解.答案:B5.在ZABC中，ZA、ZB、ZC所对的边分别为a、b、c.若sinA:sinB:sinC=5：7：&则a：b：c二,ZB的大小是.思路解析:*.*—-—=—-—=―-—,sinA:sinB:sinC=5：7：&sinAsinBsinCAa:b：c=5：7：8.

4、,小a2-^c2-b24017C令a=5,b=7,c=8,贝I」cosB二=——=—.・：ZB二一.2ac8023jr答案：5：7：8—34.在ZABC中，已知BC二12,260°,B二45°,则AC二.思路解析：己知两角及任一边运用正弦定理，己知两边及其夹角运用余弦定理.市正弦定理,得丄£解得AC二4亦.sin45°sin60°答案：4a/65.已知钝角AABC的三边a=k,b二k+2,c二k+4,求k的取值范围.思路分析：由三角形中大边对大角的性质，可知角C为最大角，即C为钝角，则cosC<0,结合余弦定理可求解

5、.注意已知三边a,b,c,必须首先能构成一个三角形，方法是两边之和大于第三边.解:Vc>b>a,角C为钝角./+/异-厂2k2-4k由余弦定理，得cosC==<0.2ab2£伙+2)Ak2-4k-12<0,即-2k+4,得k>2.A2

6、用余弦a定理及£的值联立求b.a解：(1)VC=2A,.,.sinC=sin2A=2sinAcosA.csinC33rh正弦定理，得-=^lk=2cosA=2X-=-.asinA42⑵c°sA=gN=E,2bc43又a+b二10,c=—a,联立，解得240a=r<9或$=5,50[b=5.b=——求角A的大小；9当a二5,b二5时，三角形为等腰三角形，由A二B及O2A可得A二45°,这与cosA=—矛盾，不4合题意,・・・b的值为聖.9我综合我发展4.在ZXABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.卜cr—b~sin

7、(A—B)'Ptil-•=sinC思路分析：分析所给的等式左右两边的差异，利用正弦定理、余弦定理实现边、角的统一.证明：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,得a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理，得csinCcsinC—ci2-b2acosB-bcosAcr一b_sinAcosB-sinBcosAsin(A-B)10•在ZXABC中,sinCsinCsinCcosC3aa>b.c分别是ZA.ZB、ZC的对边长，且竺土二兰cosBb⑴求sinB；⑵若b=4

8、V2,且沪c,求AABC的面积.思路分析：本题所给已知条件中，既有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦，由此容易想到利用止弦定理、余弦定理，把已知条件屮的边角Z间的关系全部转化为角Z间的关系，从而将问题解决.第二个问题容易想到利用三角形相应的血积公式，围绕着公式去考虑需要些什么条件.解：⑴由正弦定理得亠沁,亠泄，bsinBbs