第96题直接证明与间接证明-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列(1)

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1、第96题直接证明与间接证明I.题源探究・黄金母题【例1】证明不等式J市-需v认匚三(a>2)所用的最适合的方法是()A.综合法B.分析法C.间接证法D.合情推理法【答案】B【解析】欲证明不等式，只需证J荷+J三<>/荷+丽，只需证(Ja+1+Ja_2)v(Ja_+y[ct),只需证2丁a+1•Ja_2<2Ja-1•[ci,故选B.【例2】求证：对于任意角&,cos40-sin40=cos20.【证明】•・•cos40-sin40=(cos2&+sin?&)(cos20一sin2&)=cos20,・••原式成立.【例3]设实数a,b,c成等差数列,非零实数

2、.y分别为a与b,方与c的等差中项，试证：-+-=2・%y【证明】占已知条件得b2=ac,2x=a+by2y=h+c.要证—+—=2,只要证ay+ex=2xy,只要证2ay+2cx=^xy.%y由①②得2ay+2cx=g(b+c)+c(a+/?)="+2ac+be,4小=(a+b)(b+c)=“+/?2+ac+bc=ab+2ac+bc,・•・lay+2cx=Axy精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-2P89T2改编；例2：人教A版选修2-2P89练习T1；例3：人教A版选修2-2P89习题2・2B组丁2・【母题评析】这类题主要考査直接证明的方法一一综合

3、法和分析法，间接证明的方法一—反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考査，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力的考查.【思路方法】1.直接从条件出发证明结论思路受阻时，可以考虑利用逆推法来求解结论成立的充分条件即可，直到化简成为恒等式或与条件相符的式子为止.2.利用重要的不等式证明不等式是综合法的一种重要应用，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变.命题成立.II.考场精彩・真题回放【例1】［2017高考新课标2理23】已知d>0">0,/

4、+，=2.证明：(1)(a+b)(a‘+b")»4；(2)a^b<2.【答案】(1)证明略；(2)证明略.【解析】试题分析：(1)第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得•结论；(2)第二问利用均值不等式的结论结合题意证得(«+&)3<8即可得出结论.试题解析：(1)(a+b)(a"+b')=a'+cib'+a'b+=(a3+b3)2-2/戾+ab(a4+b4)=4+-b2)2>4(2)v(a+b)'=a3+3a2b+3ab2=2+3aZ?(d+b)52+'4)(a+b)=2+'4),.・.(a+b)<8,因此a+/?52.【例212017高考江苏

5、21D】已知a,b,c,d为实数，且/+戻=4,c2+J2=16,证明GC+加58.【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得(a2+/?2)(c2+J2)>(ac+bd)2,即(ac+hd)2<4x16=64,故ac+bd58.【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设州，勺，…，勺，勺，优，…，仇为实数,贝!)(a；+居+…+Q：)(斤+b；+…+b：)>(alb［+a2b2+...+anbn)2,当且仅当勺=0或存在一个数k,使q.=他(i=1,2,…，斤)时，等号成立.形之后若与二次函数有关，可用配方法.【命题意图】这类题主要考查直接证明的方

6、法一一综合法和分析法，间接证明的方法一—反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考査，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力等的考查.【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大.【难点中心】1.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.2.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“

7、唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，【例3】［2017高考北京理20】设｛陽｝和｛化｝是两个等差数列,记与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的.3.线线、线面的平行与垂直位置关系的证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直

8、于交线，则垂直于另一个平面，这两种途径都可以证明线面