2017-2018版高中数学第1章导数及其应用123简单复合函数的导数学案苏教版选修2-2

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1、1.2.3简单复合函数的导数【学习目标】1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导.问题导学新初探穽点点落实知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y=2%+5+ln%,In(2^+5),y=sin(^+2).思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y=ln(2/+5)是如何复合的?思考3试求函数尸ln(2卄5)的导数.复合函数的概念一般地，对于两个函数和〃=gO),如果通过变量口，y可以表示成,那么称这个函数为函数y=f{u)和u=g^的复合函数，记作v=复合函数的求导复合函数的导数和函数

2、y=/'(u),u=g(x)的导数间的法则关系为/〃=,即y对x的导数等于重点难点个个击破题型探究类型一复合函数的概念例1下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的?⑴y=(2—/)3；(2)y=sinx；(3)y=cosCJT4(4)y=lnsin(3x—1).反思与感悟根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中I'可变量，将复合函数分解成较为简单的函数.跟踪训练1写出由下列函数复合而成的函数.⑴尸cosu,u=l+x;(2)y=lnu,u=lnx.类型二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：

3、⑴H(2)尸2二"(3)y=51og3(l—x)；回回(4)y=#cos(2/——).登录91淘课网(www.91taoke.com),听名师精讲课程—疑合函数的导数运算跟踪训练2(1)若f(x)=(2x+a)2,且尸(2)=20,贝！ja=⑵已知尸罟，则/匸=——(2)已矢Uy=sinx+cos3%,贝I」yf=类型三复合函数导数的综合应用例3求曲线尸=肩土在点(4,另处的切线方程.反思与感悟(1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.(2)先求出复合函数的导数，若已知切点

4、，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.跟踪训练3设f{x)=ln(%+l)+y[x+l+ax+力WR且为常数)，曲线y=fx)与直线3尸尹在点(0,0)相切.求日，方的值.1.函数y=sin是由函数复合而成的.2.设f{x)=e'x则尸3=.3.函数y=(1—2^)*在/=*处的导数为.4.过曲线宀上一点，使曲线在该点的切线平行于x轴，求切线方程.1十/!■规律与方法■>1.复合函数求导的步骤1.求复合函数的导数的注意点：（1）分解的

5、函数通常为基本初等函数；（2）求导时分清是对哪个变量求导；（3）计算结果尽量简洁.提醒：完成作业1.2.3答案精析问题导学知识点思考1函数In(2^+5),尸sin(x+2)是复合函数，函数y=2^+5+lnx不是复合函数.思考2设"=2x+5,则y=lnu,从而y=In(2^+5)可以看作是rtly=lnu和〃=2/+5,经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量口表示为自变量x的函数.12思考3"=2卄5・(2+)/=2卄5,x的函数f(g(x))y1u•u'xy对h的导数与h对x的导数的乘积题型探究例1解(l)y=(2—#)'是由y=u

6、及"=2—#复合而成.(2)y=sin#是由尸sin£及t=x复合而成.JIJI■(3)y=cos(——^)是由尸cos〃及u=——x复合而成.(4)y=lnsin(3%—1)是由y=lnu,u=sinZ■及t=3x—1复合而成.跟踪训练1解⑴尸cos(l+#)・(2)y=ln(ln%).例2解(1)函数y=3"T看作函数尸3"与函数u=2x~的复合，・・・/=/「『产(3丁・(2厂1丫=(21n3)・3"=2・32x_,・In3.(2)y=—詁〒~~=(2^+1)函数尸一2丄］—作函数y=u"与u=2x+X的复合.yf=y‘u•ux=(

7、u4)'・(2卄1)'=一4亍取2=—8(2/+1厂5-8=2x+15，⑶函数y=51og3(l—方看作函数y=51og3Z/与函数u=l~x的复合.55y‘=八・山=(510別〃)‘(i一方'=亦><(一1)=—JlJI(2)函数f=cos(2^——)看作函数^=cosu与u=2x~—的复合.=(cosu)=—2sin〃=—2sin(2x—y'=(/)，cos(2^r——)+x[cos(2^r—~)1'=2^cos(2x——2xsin(2^—跟踪训练2(1)1(2)1-1113(1)3sinGcos3sin3%ii3例3解yf=_(x—

8、3x)—z=—-(/—3^r)—7•(2^—3),=肩吕^在点(4,fj处的切线斜率为k=y,

9、.v=4=-

10、x(42-3X4)-

11、x(2X4-3)5I5・・・切线方程为F—厂一