2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章+12+123+简单复合函数的导数

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1、1.2.3简单复合函数的导数入H备屛么抽象问題情境化，新知无师自通[对应学生用书P11]已知函数.心)=sin(2x+号，g(x)=(3x+2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数.问题2：试说明g(x)=(3x+2F是如何复合的？提示：函数g(x)=(3x+2)2是由g(//)=w2,w=3x+2复合而成的.问题3：试求g(x)=(3x+2)Sg(”)=/,u=3x+2的导数.提示：g‘(x)=[(3x+2)2]z=[9x2+12x+4]/=18x+12.g‘(w)=2w,u=3.问题4：

2、观察问题3中导数有何关系？提示：gf(x)=g‘(w)w，•〃〃〃*知t)解7////若y=/(w),u=ax+bf则尹'Y=y'^urv即y'r=y,»a.[归纳•升华•领悟]、1.求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量.2.利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单.3.判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量兀

3、的基本函数经过冇限次四则运算而得到的函数.[例1]BAW0■点一求下列函数的导数.高频考点题组化.名师一点就通复合函数的求导[对应学生用书P11](2)尸e0.05x+l(3)y=C0S(亦+卩)(其中3、(P为常数);(4)y=log2(5_3x)・［思路点拨］先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解.3所以”x=y，x=("—才・(2x+3)‘=—1-2=—3m—*=—3(2x+3)—(2)y=e~0-05x+1是函数y=ew=-0.05x+l的复合函数,所以昇严才严‘“=

4、(『)'•(一0.05x+l)z=-O.O5eM=-O.O5e_o°5x+,.(3)y=cos@x+0)是尹=5怡1/,u=a)x+(p的复合函数，所以x=y'x=(cos“)‘•(ex+y)‘=—sinirco=—cosin(cox+(/)).(4)尹=log2(5—3x)是y=log2",u=5—3x的复合函数，所以”x=y，x=(lo卿)'・(5-3x)‘=一3•法^__3_3(5—3x)ln2(3x—5)ln2*［一点通］对于简单复合函数的求导，其一般步骤为"分解——求导——回代”，即：(1)弄清复

5、合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量.//////1.若函数y(兀)=1丄，则f(x)=.•A解析：./(x)=l丄是/M=ln%与的复合函数，所以7’x=y，u'ux=(u)f-A'姣室•—-2.函数y=siiA+sin»的导数为.解析：yf=(sin3x+sinx3)f=(sin3x)'+(sinx3)/=3sin2xcosx+cosx3•3x2■2I23=3sirfxcosx+3x・cosx・答案：3sin2xcosx+3x2-

6、cosx31.求下列函数的导数：(l>=e2x2+3x；(2)，=(]」3巧4.解：(l)y=eM,u=2x2+3x,所以”x=y，uUX=el,'(2x2+3x),=cM-(4x+3)=(4x+3)e2x2+3x.(1)"=(i_*4=(1_3x)j・：可设y=u~4fu=1—3x,y'“=—4m5,ux=—3,•J'.v=y，严一4厂x(—3)=12(1—3x)7IEXSI求导法则的综合应用［例2］求下列函数的导数.(l)

7、则及复合函数的求导公式求解.[精解详析]⑴才=(3}~ysin(ZY-l)+3,_x-[sin(2x-l)]/=-31vln3sin(2x—lj+S1Y-2cos(2x—1)=31r[2cos(2x—1)—sin(2x—l)-ln3].(20[ln(2x~l)]z'y[2x—1~ln(2x~1)(^/2%~l)z(佃_1)22yj2x~]2x~lln(2x—l)*(2x—1)*22x-i2ln(2x—1)'2x~2~ln(2x~1)(2x—1)讨2兀一1［一点通］(1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数

8、的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构.(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的.1.若函数/(x)=xcos2x,则/"(x)=解析：f(x)=x'cos2x+x(cos2x)'=cos2x~2xsm2x.答案:cos2x—2xsin2x2.求下列函数的导数：、/2x—]i(l)y=比L；