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《2017-2018学年高中数学苏教版选修4-2教学案：24+241 逆矩阵的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.4」逆矩阵的概念1.逆矩阵的定义对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称4是可逆的，B称为4的逆矩阵，记为4-1.2.逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A、3均可逆，则AB也可逆，且(2)已知A、B、C为二阶矩阵且AB=AC,若4存在逆矩阵，则B=C.3.逆矩阵的求法［ab~］,(1)公式法：对于二阶矩阵』，若ad—bcHO,则A必可逆，且Lcd」-db~ad~bead~be_ad~bcad—be(2)待定系数法.考点一(3)逆变换法.髙频考点題组化，名师一点就通［对应学生用书P30］逆矩阵的求法「321［例1］求矩阵A=
2、_2計的逆矩阵.［思路点拨］设出逆矩阵，利用待定系数法
3、求解或直接利用公式法求解.t［xy"［精解详析］法一：待定系数法：设A^=‘，叩「3x+2z3尹+2"]_「10"即L2x+z2y+w」=LoL故=0,2x+z=0,[2y+u)=1,解得x=—1,z=2,y=2,w=—3,从而A的逆矩阵为A_1=r_2-3-■■法二：公式法：G〃一bc=3Xl—2X2=-1HO,:.A~l=-122-3［方法•规律•小结］用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵A-1,再由AA［=E得相等矩阵,最后利用相等矩阵的概念求出A'1.解：设矩阵A的逆矩阵为故q=—1，b=09c=0,-1所以A^lB=2.已知矩阵“=-3-1■-10''12",B
4、=・02._06.,求矩阵A^B.1.（江苏高考）已知矩阵A=0aIfcd_，则-10,即2jLcdabO'Ld=鲁,从而A的逆矩阵为A-1=26'I.0-23.-1~a~b2c2d1O'0L所对应的线性变换把点/（兀，尹）变成点炉（13,5）,试求M的逆矩阵及点/的坐标.2解：由M=］-3一1'得2X(—1)一(一3)X1=1HO,故M_1=-1-1"13".5.—1X13+3X5]=「2-1X13+2X5J=Lx=2,1"=一3,即A（2,一3）为所求.［例2］用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵.「20］r011⑴To1）⑵*-10-［思路点拨］A为伸压变换矩阵，B为旋转变换
5、矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求.［精解详析］(1)矩阵A为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿兀轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换7^-1：将平面内点的纵坐标保持1「丄ol不变，横坐标沿x轴方向压缩为原來的扌，所对应的变换矩阵为A-'=2•〜Loi_(2)矩阵B为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90。.它存在逆变换Tbt将平面内的点绕原点逆时针旋转90°,所对应的变换矩阵为B~［='()-r」0/［方法・规律・小结］一、从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是
6、否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射.3.已知矩阵4=12也2关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵.21■—2」解：矩阵A对应的变换是旋转变换7?240S它的逆变换是乩240。「cos(一240°)-Sin(-240°)'A=Lsin(—240°)cos(—240。).「丄近12_2L22」卩ol1.已知矩阵4=2,求/I.-05_解：因矩阵A所对应的变换为伸缩变换,"2所以A_l=°0'丄5考点二逆矩阵的概念与性质的应用［例3］若矩阵A=鳥，吐阳，求矩阵A
7、B的逆矩阵.［思路点拨］根据公式先求出A5-已知To则A=MN.V1X1-OX(-])=1^O,丄2_由逆矩阵的性质，得,再利用矩阵乘法求解.［精解详析］因为矩阵A所对应的变换为伸缩变换,-丄2所以「=0而矩阵B对应的变换为切变变换,.「1—3其逆矩阵BX=,■鼻■・・・(AB宀矿肿riri3~1-3_2025011105.05_［方法•规律•小结］(1)要避免犯如下错误｛ABYX=AXB1解：设M=亠11(2)此题也可以先求出AB再求其逆.rion「12］a。6.若矩阵A=^qJ,B=^QJ,求曲线x2+y2=在矩阵(AB)'1变换下的曲线方程._1-2_.01」解：｛A
8、Bfx=BxAx=1-2ri01.01.L01J「丄辽22rir「ii+萌122_适1L22」_01_V31_萌22-设卩(x,刃是圆x2+7=1上任意一点，P点、在(AB)~l对应变换下变成0(x‘，yf)则1_oXx~2yJ」-y--2"Lxr=x~2y,[x=xr+2yr,・・・PX+2yf,yf).又P点在圆上,・・・X+2yr)2+(yz)2=1.展开整理为(十)?+4dyr+5(/)2=1.［思路点拨］故所求曲线方程为x2+4xy+5y2=.2",B='23',C=
