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时间:2018-08-06
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1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案2.3.1 矩阵乘法的概念1.二阶矩阵乘法法则:=.2.矩阵乘法MN的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换.3.矩阵MN对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N对应的变换,再进行矩阵M对应的变换.二阶矩阵的乘法[例1] (1)已知A=,B=,计算AB;(2)已知A=,B=,计算AB,BA;并观察AB与BA相等吗?[思路点拨] 直接运用二阶矩阵的乘法法则计算即可.[精解详析] (1)AB==.(2)AB==,BA==.观察可知,AB≠BA.9苏教版20
2、17-2018学年高中数学选修4-2教学案两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵,进行矩阵乘法运算时,必须按矩阵乘法法则依次进行.1.已知A=,B=,计算AB,BA.解:AB==;BA==.2.(1)已知A=,B=,C=,计算AB,AC;(2)已知A=,B=,计算A2,B2.解:(1)AB==,AC==.(2)A2==,B2==.矩阵乘法的几何意义9苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案[例2] 已知矩阵M=,N=.(1)若对平面上的图形F先实施TM变换,再把所得的图形实施TN变换,得到图
3、形F′,那么F与F′有什么关系?(2)计算NM,若对平面上的图形F实施TNM变换,得到图形F0,那么F与F0什么关系?(3)根据(1)(2),说明由矩阵NM确定的变换的几何意义.[思路点拨] 先由对称变换确定F与F′的关系,再通过计算NM确定F与F0的关系,由上述关系即可说明由NM确定的变换的几何意义.[精解详析] (1)变换TM把平面上的图形F变换成与F关于x轴对称的图形F1,变换TN把平面上的图形F1变换成与F1关于y轴对称的图形F′,所以F与F′关于原点对称.(2)NM=,变换TNM是把平面上的图
4、形F变换成与F关于原点对称的图形F0.(3)由(1)(2)知,把平面上的图形F先实施TM变换,再把所得的图形实施TN变换,与把平面上的图形F实施TNM的结果相同.这也就验证了矩阵乘法NM的几何意义:“对图形连续实施两次变换(先TM后TN)的复合变换”的结论.矩阵MN的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N再M)的复合变换,进行复合变换时,一定要注意先后顺序,顺序不同,所得变换结果就可能不同.3.已知M1=,M2=,试求M2M1并对其几何意义给予解释.解:M2M1==.矩阵M1和M2分别表示把平面上的点
5、向x轴垂直压缩为原来的和,利用M1和M2对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的,再压缩为实际上连续完成这两个变换,变换的结果可以用一个变换来表示,即矩阵N=对应的变换.9苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案4.已知矩形ABCD,其中点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),先将矩形绕原点逆时针旋转90°,再将所得图形作关于y轴的反射变换.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M;(2)求点A,B,C,D在连续两次变换后所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的
6、几何图形,并验证(2)中的结论.解:(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q=,而关于y轴的变换矩阵P=,则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得.M=PQ==.(2)因为=,=,=,=,所以点A,B,C,D分别变换成点A″(0,0),B″(0,2),C″(1,2),D″(1,0).(3)从几何变换角度,先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1,再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2,所得结果与(2)一致,如图所示.求曲线在复合变换后的解析式[例3] 试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解
7、析式,其中M=,N=.[思路点拨] 本题先求矩阵M、N的积,再利用矩阵变换求曲线y=sinx在MN变换下的解析式.[精解详析] MN==,即在矩阵MN变换下→=,9苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案则y′=sin2x′,即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换,可先求出两次或两次以上的变换的复合变换,即先求矩阵M、N、…的积,再对曲线进行变换.5.已知圆C:x2+y2=1,先将圆C作关于矩阵P=的线性变换,再将所得的图形
8、绕原点逆时针旋转90°,求所得的曲线方程.解:绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q=,则M=QP==,设A(x,y)为圆C上任意一点,在矩阵M对应的变换作用下变为A′(x′,y′)则==.∴∴又点A在曲线x2+y2=1上,∴(y′)2+2=1,即+y′2=1.故所求曲线方程为+y2=1.6.已知曲线C1:x2+y2=1,对它先作矩阵A=对应的变换,再作矩阵B=对应的变换,得到曲线C2:+y2=1,求实数b的值.解:从曲线C1得到曲线C2的变换
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