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1、【标题】浅谈条件概率在生活屮的应用【作者】袁金琼【关键词】条件概率全概率公式贝叶斯公式生活屮的应用【指导老师】王晓云【专业】数学与应用数学【正文】引言：条件概率是概率论屮最基本的概念之一。由条件概率获得的概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是研究概率论的重要工具。本文在介绍了条件概率的定义、性质和与之相关的三个重要公式的基础上，举例说明了条件概率在气象预测、抽签问题、产品质量检查、经济决策、临床医学、无线电通讯、体育比赛和问卷调查设计等八个方面的应用。1条件概率的定义及性质1.1条件概率的定义定义1对任意事
2、件八和B,P(B)>0,则称P(A
3、B)=(1)为在事件B已知发生的条件下，事件A发生的条件概率。定义2若事件A发生的可能性不受事件B发生的影响，即P(A
4、B)=P(A),则称事件A与B是独立的[1]o在古典概型屮，设试验E的基本事件总数为N,B所含的基本事件数为m(m>0)oAB所含的基本事件数为k[2],即有：P(A
5、B)===1.2条件概率的性质从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，如果P(B)〉O,则有：(1)、非负性：对任意事件A,有0P(A
6、B)1(2)、规范性：对于必然事件S,有P
7、(S
8、B)=1(3)、可列可加性：设Al、A2、……是两两互不相容的事件，则有：P()=证明：(1)、由于AB,故P(AB)P(B),从而有：0=1(2)、P(S
9、B)===1(3)、由于Al、A2、为两两互不相容的事件,故A1B、A2B也是两两互不相容的事件，从而有：P()二二=二由条件概率具有的上面三条性质可知条件概率是定义在样本空间中的概率,所以它具有事件概率的全部性质[3]。如：P(
10、A)=0P(
11、B)=1-P(A
12、B)P(AC
13、B)=P(A
14、B)+P(C
15、B)-P(AC
16、B)1关于条件概率的三个重
17、要公式1.1乘法公式由条件概率的定义，立即可以得到下述公式乘法公式:设A、B为两事件,若P(B)>0,则P(AB)二P(B)P(A
18、B)若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B
19、A)(2)上述两式可以用來求某些积事件的概率，且很容易推广到多个事件的积事件的情况。如：设A、B、C为事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(A)P(B
20、A)P(C
21、AB)在这里,注意到由假设P(AB)>0,可推得P⑷P(AB)>0—般,假设Al、A2、……An为n个任意事件(n2),P(AlA2-An-l)>0,则有：P
22、(AlA2-An)=P(Al)P(A2
23、Al)P(A3
24、AlA2)-P(AlA2-An-l)o证明：由于P(A1)P(A1A2)P(AlA2・・・An-l)0故上面等式右边是存在的，且等于P(A1)二??……?=P(A1A2-An)(3)1.2全概率公式设A、B是两个事件，那么A可以表示为A=ABA，显然ABA=,如果P(B)、P()〉0,则P(A)=P(AB)+P(A)=P(A
25、B)P(B)+P(A
26、)P()上式是概率论屮颇为简单事件，为了求复杂事件的概率，最后利用概率可加性得到最终结杲,这一方法的一般化
27、就是所谓的全概率公式。定义3设S为试验E的样本空间，Bl、B2、……Bn为E的一组事件，若(1)BiBj=ij,i=j=K2、3、n(2)BlB2Bn二S则称Bl、B2、……Bn为样本空间S的一个划分。若Bl、B2、……Bn是样本空间的一个划分,那么，对每次试验,事件Bl、B2、……Bn中必有一个且只有一个发生。例如：设试验E为“掷一颗子观察其点数”。它的样本空间为S二{1,2,3,4,5,6},E的一组事件B1={1,2,3),B2={4,5},B3={6},是S的一个划分，而事件组C1={1,2,3},
28、C2={3,4},C3={5,6}不是S的划分。全概率公式:设试验E的样本空间为S,A为E的事件，Bl、B2、……Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0,(i=l,2,……)则对任意事件A,有:P(A)=P(B1)P(A
29、B1)+P(B2)P(A
30、B2)++P(Bn)P(A
31、Bn)(4)在很多实际问题中P(A)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分B1、B2、……Bn,且P(Bi)和P(A
32、Bi)或为已知，或为容易求得，那么就可以根据上式，求得P(A)。证明：A=AS=A(B1B2Bn)=ABlAB2ABn由
33、假设P(Bi)>0,(i=l,2,……n)且P(ABi)?(ABj)=,(ij,i,j=l,2,……n)得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)……+P(ABn)=P(B1)P(A
34、B1)+P(B2)P(A
35、B2)++P(Bn)P(A
36、Bn)全概率公式的想法是将确定A的概率问题分解为确定AB1、AB2.……ABn的概率。2.3贝叶斯公式由条件概率的定义和全概率公式，容易得到如下的贝叶斯公式。贝叶斯公式:设试验E的
