向量在中学数学中的妙用

《向量在中学数学中的妙用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、向量在中学数学中的妙用姓名：张殿涛学号：200840510651指导老师：林记摘要向量知识在代数、几何、三角、复数等数学分支中有着非常广泛的应用，利用向量知识可以巧妙而简捷地处理多种问题.用向量法解题，可以激发学生学习兴趣，拓展学生的思维，培养学生的创新意识和思维能力.关键词向量数量积向量法TheApplicationoftheVectorinMiddleSchoolMathTeachingName:ZhangdiantaoStudentNumber:200840510651Adviser:LinjiAbstract:Thevectoriswidelyappliedtoalgebra,geo

2、metrytrigonometryandmathematics.Withitbeingproperlyused,manyproblemscanbesolvedflexiblyandeasily・Insolvingmathematicalproblems,thevectoricalmethodcanstimulateastudentpsinterestinlearning,widenhisthinkingscopeandcultivatehisinnovativesenseandability・Keywords:vector;vectorproduct;vectoricalmethod引言向量

3、知识是解决数学问题的重要工具，用向量法解题，方法新颖、思路清晰、运算简便、提高做题速率，是学生常用的解题方案之一。下面举例分析向量在中学数学中的一些妙用。1.向量在代数中的妙用向量知识在中学教材中是以儿何的形式岀现的，给人的感觉是在儿何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的妙用。1.1等式证明证明等式用常规方法则运算比较繁琐，如果能用向量知识解答运算则就较为简捷。例1已知a^-b2+by/-a2=1,求证a2+b2=l.证设m=(a^-a2),方=(J1-/AZ?j,h与历的夹角为6g[O,^].则m-n=^-cos&=l,又悯=同=1,所以c

4、os。=1,0=0.所以in//h.因此cih—J]_•J]_/?_=0,移项然后两边平方，整理得a2+b2=l.例2已知(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz),且x,y,z,a,b,c为非零实数，求证abc证构造向量in-(x,y,z),用=(d,b,c).cos2<9=__、2ih-nm与n的夹角为8,0e[(),兀],贝!J(ax+by+cz)2(x2+y2+z2^a2+h2+c2)由此得0=0或&=兀，所以th//n,因此1・2不等式证明证明不等式主要依据有关向量的性质公式，如ab＜同•”.例3已知a,b,cg7?,且a+2b+3c=6,求证a2+2b2+3c

5、3~6.证构造向量m=(a,42bry/3c),方=(1,血,馆),所以m-n=6,回卜厉=^a2+2h2+3c2.J1+2+3.由向量不等式得6=a+2b+3c<+2Z?2+3c2-71+2+3,即a2+2b2+3c2>6・例4已知：a,be/?*,a+b=l.求证：』2a++』2b+<2近.证构造向量m=(1,1),h=(j2a+l,j2b+l)・m-h=J2a+1+J2b+1,

6、/7?

7、=V2,

8、n

9、=2・由mn

10、以頁，得5=Vx•Jx+5—兀•、］51—=5•VXX所以上式中等号成立，所以解得牛竺远,/山代入原方程检验均适合.1.4求函数极值求函数最值问题，按常规方法求解则运算比较繁琐，若能用向量知识解答则会使求解变得容易。例6求函数y=^-34-710-9?的最大值.解原函数可变为y=-3+—x3x+a/10-9x2.34Z/(x)=

11、X3x+710-9x2H(3x)2+(71O-9x2)T=10.构造向量m=(-^(3)n=(3x,V10-9x2).2+12X由<

12、7w

13、-

14、n,得J(3兀尸+(/75二可=—/(x)=-x3x+V10-9x2<从而r勺101y<-3+—=—ymax33当口仅当

15、=3兀,即兀二丄吋，33例7已知Jx+1+Jy-2=5,求函数z二x+y的最小值.解构造向量ffi=Qx+：y_2),h=(1,1).由m.-n<^-,可得Jx++』y_2——42*2当且仅当J7三=

16、,即"寻时，27Znun=X^y=—・1.向量在几何中的妙用向量是以几何的形式出现的，在几何相关问题中更有十分广泛的妙用。