在中学数学中的妙用.pdf

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1、专题研究专题研究ZHUANTIYANJIUZHUANTIYANJIU95“1”在中学数学中的妙用◎陈宇剑齐梅芬高英(武汉军械士官学校数学教研室430075）在数学中，“1”是一个很神奇的数字，它既简单又复杂，这道题正是利用正切函数tanA＋tanB＋tanAtanB＝1说它简单是从形式上看它很简单，说它复杂是因为它在数学（A＋B＝45°）而求得的．中的变化很复杂．在解决有关的数学问题时，对隐藏着的一个二、在不等式中的应用“1”作出合理的数学变形往往会给我们解决问题带来极大的例3已知a，b，c都是正实数，求证a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b.

2、方便，起到事半功倍的效果．我们对中学数学中的有关“1”的证明设A=a2ab2bc2c，B=ab+cbc+aca+b，欲证A≥B，只须证问题进行了收集、处理、分类，较为系统地对这些问题进行了AAa2ab2bc2cbb-acc-acc-b≥1（A＞0，B＞0），==≥≥≥≥≥≥.研究，发现这些问题中的“1”的转换其实并不复杂，关键时如BBab+cbc+aca+baab何把“1”转化为与问题相关的数学式．归纳起来在高中数学中设0＜a≤b≤c，则b≥1，c≥1，c≥1，aab“1”主要是在三角函数、不等式、解析几何、排列组合中应用较多．下面我们就“1”在这些问

3、题中的应用举例说明．∴b-a≥0，c-a≥0，c-b≥0圯≥≥bb-a≥1，≥≥cc-a≥1，aa一、在三角函数中的应用cc-b例1已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，求cosα.≥≥≥1.b解∵sinα=2sinβ圯sinα=2，∴A≥1，即a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b.cscβB∴cscβ=2.①Asinα这道题所用的思想其实很简单，就是≥1圯A≥BB∵tanα=3tanβ，（A，B＞0），也就是它使这道题变得很简单，使之成为几个大∴tanα=3，cotβ=3.（利用csc2α-cot2α=1）②于1的数的乘积大于1．c

4、otβtanαa2b2①2-②2，得1=4-9.例4已知a，b，c是正数，且满足1+a2+1+b2+tan2αtan2αc2姨2494-9cos2α=1，求证：abc≤.∴-=1圯=1，1+c24cos2αtan2αtan2αcos2αtan2α∴4-9cos2α=cos2αtan2α.（利用1=sec2α-tan2α）证明设a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，其中α，β，γ∈πa2b2c2∴4－9cos2α＝cos2α（sec2α－1），≥0，≥=sin2α，=sin2β，=sin2γ.，则21+a21+b21+c2∴4－9cos2α＝1-co

5、s2α，1cos2α+sin2α（利用1=cos2α+sin2α圯=圯∴8cos2α=3圯cos2α=3，cos2αcos2α81tan2α·tan2α=1+tan2α圯sin2α=）姨6sin2α1+tan2α∴cosα=±.4已知条件可化为：sin2α+sin2β+sin2γ=1.此题运用了两个有关“1”的知识点，其一：1=csc2α-cot2α，∵sin2α+cos2α=1，则其二：1=sec2α-tan2α，此两点正是解本题的关键所在，巧妙cos2α=sin2β+sin2γ≥2sinβsinγ＞0，①的运用了这两点此题也就迎刃而解了．cos2β

6、=sin2γ+sin2α≥2sniαsinγ＞0，②例2求（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）·…·（1＋cos2γ=sin2α+sin2β≥2sinαsinβ＞0.③tan44°）的值．①×②×③，得分析考虑到1°＋44°＝45°，2°＋43°＝45°,等等，于是可cos2αcos2βcos2γ≥8sin2αsin2βsin2γ.将（1＋tan1°）与（1＋tan44°）放在一起，同样可将（1＋tan2°）A（利用≤1圳A≤B（B＞0））与（1＋tan43°）放在一起，等等．B若A+B=45°，且A，B终边不在y轴上，则(1+tan

7、A)（1+sin2αsin2βsin2γ18≤1圯tan2αtan2βtan2γ≤圯tanBcos2αcos2βcos2γ8）=2．证明（1+tanA）(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB.a2b2c2≤1.∵A+B=45°，8而tan（A＋B）=tanA＋tanB＝tan45°＝1，∵abc＞0，∴abc≤1=姨2.1－tanAtanB姨84∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB，这道题是把代数问题巧妙的转化为三角函数问题，然后即tanA+tanB+tanAtanB＝1圯两次利用sin2α+cos2α=1和A≤1圳A≤B（A

8、，B＞0）知（1＋tanA）（1＋tanB）=2.B所以原式便可写为：识所得．这题不仅用了不等