向量在中学数学中的应用[]

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1、向量在中学数学中的应用摘要：向量作为高中数学的新增内容，同时具有代数形式和几何形式，能容数形于一体，通常作为解决问题的载体，本文就向量在代数，三角，线性规划，几何等问题中的应用进行了探讨．关键词：向量；几何；代数向量是高中数学的新增内容，也是数学的重要概念之一，由于它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，与中学数学的许多主干知识综合，形成知识的交汇点．因此，它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中．本文就向量在复数，等式不等式，最值，三角，线性规划，几何等问题中的应用进行

2、了详细的探讨．1　向量在复数问题中的应用［５］例1　设复平面上三个不同的点、、分别对应复数、、，已知，2，求复数．解　设，则，，，．由于　　　　　　　　，即，所以0．因为、对应不同的点，即，所以，当时可得　　　　　　0，又因为2，即2．所以即求得31．2　向量在等式和不等式问题中的应用2.1　向量在等式问题中的应用例2　设．求证：．证明　若，结论显然成立．若，，不全为0，构造向量，．则．由已知条件得1，所以或，即．2.2　向量在不等式问题中的应用［１］向量与不等式结合，缘于向量的性质，等．在这类问题中，向量一般是作为

3、解决问题的工具出现的．有时我们可以通过构造向量，利用向量不等式轻松获证，显示了向量在证明不等式时的独特威力．例3已知、、∈，且，求证．证明　构造向量，．由向量不等式，得≤．所以31．例4　已知、、∈，且，求证:．证明　构造向量，．由向量不等式，得，又因为，所以6，即．3　向量在最值问题中的应用［２］函数的最值问题，经常出现在中学各类试题中．巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等问题，可以使函数最值问题的思路变得清晰，解题变得巧妙，并富于规律性，趣味性．定理，为两个向量，则．证明设，两个向量的夹角为，则　　　　　　　　．

4、3.1　向量在求未知数最值问题中的应用例5已知实数，，满足方程及，则的最小值是多少．解　方程可以化为31，，巧设向量，．则　　．解得　　　　　　　　　　，故的最小值是．3.2　向量在求整式最值问题中的应用例6已知实数，满足方程，求的最值．解设向量，．由，得即31，解得　　　　　　　　，所以　　　　　　　　　．故的最小值是，最大值是．3.3　向量在求分式最值问题中的应用例7已知实数，满足方程，则的最小值是多少．解　令，则，即．设，．则　　　　　　　　　所以　　　　　　　　，31解得　　　　　　　　　　　，故的最小值是．

5、3.4　向量在求无理函数值域问题中的应用例8求函数的值域．解　因为且，所以，可以知道．设，．则　即　　　　　　　又由于，所以函数的值域是．4　向量在三角问题中的应用［４］近年来，平面向量与三角函数的创新交汇是当今中学数学命题的焦点．对于此类问题，我们可以从以下几个方面入手．4.1　向量在三角函数性质问题中的应用例9设函数，其中，，且的图像经过点．31（1）求实数的值；（2）求函数的最小值及此时取值的集合．解　（1）根据题意，得，由已知2，解得1．（2）由（1）得，所以当时，取得最小值，取值为，由，得此时取值的集合为．

6、分析　此题以平面向量为载体，巧妙地将平面向量数量积与三角函数有关知识融合在一起，体现了在知识的交汇点处命题的原则．例10已知的面积为3，且满足06，设和的夹角为．（1）求的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值．解　（1）设中的角、、的对边分别为、、，由3，06，可得　　　　　　　　　　3101，即．（2）化简得，又因为，可得　　　　　　　23，即当时，3；时，2．分析本题主要考查平面向量数量积与三角函数恒等变形，正弦函数图像的单调性与函数最值等问题的综合运用．4.2　向量在三角函数求值、运算问题中的应用例11　已知

7、0，为的最小正周期，，，且，求的值．解　因为为的最小正周期，故．因为，且=2，故，又由于0，所以31222．分析　此题以平面向量为载体，综合三角函数与平面向量知识，利用向量引进条件，体现了新内容与传统内容的联系．4.3　向量在解三角形问题中的应用例12在中，角、、的对边分别为、、，．（1）求;（2）若，且，求．简析　（1）由题意，根据三角函数转化关系可得：．（2）由向量的数量积运算可得．所以20．又因为，联立可得　　　　　　　　　41．由余弦定理41236，解得6．分析　本题侧重考查向量的数量积的运算，同时考查余弦定

8、理与转化思想．4.4　向量在三角变换问题中的应用例13已知向量，，且．（1）求及；（2）求函数的最小值．简析　（1）=，．（2）由题意得2，31因为，得．即当时，．4.5　向量在解三角不等式问题中的应用例14已知二次函数对任意，都有成立．设向量，，，，当时，求不等式>的解集．解　设的二次项系数为，则其图像上有点，．因为，，得．由的任意性得的图像