作业——试论述向量在中学数学中的应用

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1、作业——试论述向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一，巧妙地构造向量，利用向量的运算及性质，可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”向量在中学数学中的应用众所周知，向量是现代数学的基本概念之一。在向量的基础上，目前的线性代数、解析儿何和微分儿何中已建立了多维空间的各种理论，所以在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要。向量自身具有着文化价值、教育价值、实用价值等，在生产实践中有着广泛的应用，是数学学科与物理学科间联系的实例，是初等数学与高等数

2、学的衔接点，这就是向量受到众多国家数学课程改革青睐的魅力所在。向量在高中数学教材中的教育价值，主要体现在它有利于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路，有利于发展学生的运算能力，有利于与高等教育衔接等方面。1向量的引入有利于培养学生数形结合的思想方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程。我国的教育一直强调“双基”，而在数学教育的“双基”中基础知识的定义就包括数学思想方法。因此，数学思想方法是学生必须具备的基本数学素养。向量集数与形于一身，它与生俱来就是数形结合的，既是代数

3、研究对象，乂是儿何研究对象；既可以进行运算，乂可以图形表示，它是数形结合思想方法的体现。所以，学习向量知识有利于培养学生数形结合思想方法。2向量的引入有利于拓宽解题思路向量概念能够在数学中得到广泛的发展不是偶然的，这与它强大的工具性是离不开的。向量方法既是数学思想方法的体现，乂是问题解决的一种方法途径，并且这种方法具有普遍性，广泛性，有效性。向量在数学问题解决中的作用，主要体现在几何问题和代数问题等。在解决几何问题屮，笔者分别选取解决平面几何、解析儿何、立体几何三方面问题的具体实例来说明向量在几何中的应用。2.1向量在儿何中的应

4、用(1)向量在平而几何中的应用举例首先，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。其次，通过向量的运算，特别是数量积运算研究儿何元素之间的关系，女口：距离、角度关系。最后，将运算结果“翻译”成几何关系。例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC中Z0900,求证:血=曲+須证明：因为AC丄BC所以两边平方得:pf=pc

5、l+证•西+商=pcf+同（2）向量在解析几何中的应用举例在解决解析几何问题屮主要利用向量求直线方程。这个向量可以是直线（与直线方向平行的向量），也可以是直线的法向量

6、（与直线方向垂直的向量用向量间的关系（共线或垂直）建立直线方程。解得:・••点p横坐标的取值范围是为其上的动点，当ZFiPF丄为钝角时，点P横坐标的取值范解：F1(-^5,0)F2(V5,0),设P(3cosF,2sinC•■•"占町为钝角(活一孑0«0厂2£11⑦=9cos2^—5+4sin2^=5cos2^—KO(3)向量在立体几何屮的应用举例在人教B版高中数学教材选修2-1空间向量与立体几何系列中有详细介，在此笔者就不详细说明了。例3(05江西理)如图4,在长方体砂D-中，AD二丛二1,AB二2,点E在棱AB上移动。(I)

7、证明：M丄弘；(II)当E为AB的中点时，求点E到面切的距离;JF(II)AE等于何值时，二面角4-此-°的大小为鼻。解：建立如图所示的空间直角坐标系，设侶"，贝EM処⑴c(p^a),,，O(I)证明：rtlD4=a°^,W=(U7-1),a<-Afi=ao,D-a

8、戈=a■二刀于是2有设点E到平面心的距离为；，则"匝叫卜肛小分•耳书所以点E到平面S的距离为5。(Ill)平面血的法向量俨©5,设平面轲的法向量^-£(7=0由芯・乖=0,得fcxD(-12-^0)=0(兀xD(02-D"-r+X2-

9、用用向量解决代数问题主要有儿种类型：等式的证明、不等式的证明、求函数极值、线性规划等。用向量解决代数问题可以使一些问题化繁为简，化难为易，但没有固定的方法。只是将数转化成向量，以向量的数量积或放在几何图形屮利用图形间关系为切入点解决问题。它的特点是思维转化强度大