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1、文字语言：平面内与定点几，F2的距离的和等于常数(大于
2、FlF2
3、)的a亠亠八一肠圆出I)A为椭圆不存在斶闘上的点P和两个焦点构成APFiFi(TO?/
4、2若咖心而歸2.椭圆的离心率:焦距与长轴长Z比，Ovwv0越趋近于1,椭圆越扁;椭圆的性质反之，£越趋近于0,椭圆越趋近于圆.题型一：椭圆的定义符号语言：
5、例11到两定点F](—4,0),F2(4,0)的距离Z和等于8的点的轨迹是()A.椭圆B.圆C.线段D.射线答案:MFy
6、+
7、AfF2
8、=2a为线段儿心【例刀平面内一动点M到两定点鬥、局距离Z和为常数2a,则点M的轨迹为()定义A.椭圆B.圆C.无轨迹D已.椭知圆条或件线，段求或椭无圆轨
9、的方程简单应用迹已知椭圆的方程，解决椭圆的性质问题解析：当2a>F{F2时，轨迹为椭圆；当2a=F{F2时，轨迹为线段；当2f/<
10、^£2
11、时，轨迹不存在.答案：D焦点三角形问题HV2一面积：S=bg%"PFg)周长：C=2a+2c【巩固】已知F
12、,F2是椭圆石+〒=1的左、右两个焦点.⑴求鬥，F2的坐标;⑵若AB为过椭圆的焦点Fx的一条弦，求△ABf的周长.22解析：(1)由椭圆的方程会+〒=1可知，6t2=25,Z?2=9,c?=/—y=25—9=16,/.c=4.・・・Fi(—4,0),F2(4,0).(2)由椭圆的定义可知AF]+AF^=2a=10,BFi+BF2
13、=2a=10.・・・AABF2的周长为AB+AF2+BF2=(
14、AF11+IAF2I)+(
15、BFi
16、+
17、3础)=2a+2a=4a=20.题型二焦点三角形问题1.对焦点三角形△百P朽的处理方法，定义式的平方(
18、PFj+
19、PF2
20、)2=(2a)2(2c)2=IPF,
21、2+1PF2
22、2-2
23、通常是运用余弦定理PFj-lPF2Icos&而积公式SA=ApFj・
24、PF2
25、sin&2222.若P是椭圆：耳+耳二1上的点•你片为焦点，若ZF
26、“2=&，则△"巴的面ab~积为沪tan纟2(用余弦定理与PF{^PF2=2a可得).22【例3】如图所示，已知椭圆的方程为牙+牙=1,若点P在第二
27、象限,且ZPF1F2=120°,求PFF2的面积.解析：由已知Q=2,,得22c=yja—b=l4—3=1,即
28、FIF2
29、=2C=2.y在△PF1F2中,由余弦定理，得
30、PF2『=
31、P和PFI
32、
33、FIF2
34、-COS120°,即
35、PF2
36、2=
37、PF『+4+2
38、PFi
39、.①—Fi0Fix由椭圆定义，#
40、PF]
41、+
42、PF2
43、=4,即
44、PF2
45、=*dPF
46、•②/S1唔即“时2②代入①解得PF}I=^.A5APF}F2=2l^iI•l^i^2
47、•sin120°=^x2x—的面积是芈.【巩固】己知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F】(0,-1),5(0,1),且3/(1)求椭圆的方程；⑵设点P在
48、这个椭圆上，且
49、PF
50、
51、—1“2
52、=1,求ZF1PF2的余弦值.22解析：⑴依题意知c=l,又且3a=4br2]22所以才一卩2=],即严2=]©2=4因此j=3.从而椭圆方程为牙+丁=1.(2)由于点P在椭圆上,5所以
53、PF]
54、+
55、PF2
56、=2G=2X2=4,又
57、戶凡一尸尸2
58、=1,所以
59、P£II=2又
60、FIF2
61、=2C=2,所以由余弦定理得
62、円咛+
63、“2
64、2—
65、戸尸Z£=3Fi0Fic53_?COSZFIPF2=2-2
66、2P,F\'PF27x—x—化F1PF2白22题型三求椭圆的离心率【例4】已知椭圆的两个焦点为尺、F2,力为椭圆上一点，且4尺丄A&，ZAF2FI=60°,求该椭圆
67、的离心率.解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如右图所示.由AFi丄如勺知△AFiE为直角三角形，且ZAF2F
68、=60°.由椭圆定义知
69、AFi
70、+
71、AF2
72、=2a,
73、FIF2
74、=2C,则在RtAAF
75、F2中,由ZAF2F
76、=60°得
77、AF2
78、=C,
79、AFi
80、=p^c,所以
81、AFi
82、+AF2=2a=(V3+l)c,所以离心率e=》=书y点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决A1直接求出G和C的值，套用公式0求得离心率；2根据题目条件提供的几何关系，建立参数d,b,C•之次及/=/+；等，消去b,得到G和C之间的关系，从而求得离【巩固】设椭圆的两个焦点分别为F],尸2。过局作椭圆
83、长轴的垂线交于点P.若A片P杓为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。(答案V2-1)【巩固】椭圆牙+話=l(a>b>0)的左、右顶点分别是A,E,左、右焦点分别是Fi，F2•若AF,9
84、FIF2
85、,
86、F,B
87、成等比数列，则此椭圆的离心率为________________・解析：由椭圆的定义知,AF^=a-ct
88、FIF2
89、=2C,BF{=a+c.因为
90、AF]
91、,
92、用刊，
93、BF】
94、成等比数22
