幂函数的性质、常考题型及对应练习.docx

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1、。幂函数分数指数幂mnam（a正分数指数幂的意义是：an0，m、nN，且n1）m1（a负分数指数幂的意义是：an0，m、nN，且n1）nam一、幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.如11yx2,yx3,yx4等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握yxn，当n2,1,1,1,3的图像和性质，列表如下．23从中可以归纳出以下结论：①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任

2、何幂函数图像都不过第四象限．②a1,1,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．32③a1,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．2④任何两个幂函数最多有三个公共点．-可编辑修改-。yxn奇函数偶函数非奇非偶函数yyyn1OxOxOxyyy0n1OxOxOxyyyn0OxOxOx三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形

3、式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；．对于幂函数y＝x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象2的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．四、幂函数的应用题型一.幂函数的判断例1．在函数y1220中，幂函数的个数为()3,y3x,yxx,yxxA．0B．1C．2D．3练1．下列所给出

4、的函数中，是幂函数的是（）A．yx3B．yx3C．y2x3D．yx31-可编辑修改-。题型二.幂函数图像问题n例2.幂函数yxm（m、nN，且m、n互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）(A)m、n为奇数且my1n(B)m为偶数，n为奇数，且m1n(C)m为偶数，n为奇数，且m1n(D)m奇数，n为偶数，且m1n练2.右图为幂函数yx在第一象限的图像，则a,b,c,d的大小关系是(A)abcd(B)badcyyxa(C)abdc(D)adcb解：取x1，2cdb1a由图像可知：111，2222Oabdc，应选(C)．题型三.幂函数比较大小的问题例3.比较下

5、列各组数的大小：11333（1）1.53，1.73，1；（）27，37，57；222（3）231034，，1.13．27解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．1∵yx3在0,上单调递增，且1.71.51，11∴1.731.531．3333（2）底数均为负数，可以将其转化为2727，3737，3∵yx7在0,上单调递增，且532，333333∴573727，即573727，333∴573727．O（yxbyxcx357x）357．-可编辑修改-。（3）先将指数统一，底数化成正数．2223223，102723242

6、1031.11.21，33．72∵yx3在0,2732∴102上单调递减，且721.21，10222327231.213，即：1022341.13．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．题型四.幂函数含参数问题例4.若a1分析：若x11332a3，求实数a的取值范围．113y3，则有三种情况x0y，yx0或0yx．解：根据幂函数的性质，a10a10a10有三种可能：或32a0或32a0，

7、32a0a132aa132a解得：a,12,3．32练4．已知幂函数yxm22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．解：∵幂函数yxm22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，∴m22m30，∴1m3；∵mZ，∴(m22m3)Z，又函数图象关于原点对称，∴m22m3是奇数，∴m0或m2．练5．幂函数ym2m1x5m3，当x∈(0,+∞)时为减函数，则实数m的值为()A.m＝2B.m＝－1C.m＝－1或m＝2D.15m2-可编辑修改-。题型五、幂函数与函数的性质综合题21例5、求函数y＝x5＋2x5＋4（x≥－32）值域．