椭圆的性质及常考题含答案.docx

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1、2.椭圆的离心率：ec，焦距与长轴长之比，0ea1，e越趋近于1，椭圆越扁；反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．椭圆的性质题型一：椭圆的定义例1到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是()A．椭圆B．圆C．线段CD．射线答案：例2平面一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为()A．椭圆B．圆C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹解析：当2a＞

2、F1F2

3、时，轨迹为椭圆；当2a＝

4、F1F2

5、时，轨迹为线段；当2a＜

6、F1F2

7、时，轨迹不存在．答案：D22xy巩固已知F1，F2是椭圆25＋9＝1的左、右两个焦点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若

8、AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求△ABF2的周长．22xy22解析：(1)由椭圆的方程25＋9＝1可知，a＝25，b＝9，222∴c＝a－b＝25－9＝16，∴c＝4.∴F1(－4,0)，F2(4,0)．(2)由椭圆的定义可知

9、AF1

10、＋

11、AF2

12、＝2a＝10，

13、BF1

14、＋

15、BF2

16、＝2a＝10.∴△ABF2的周长为

17、AB

18、＋

19、AF2

20、＋

21、BF2

22、＝(

23、AF1

24、＋

25、AF2

26、)＋(

27、BF1

28、＋

29、BF2

30、)＝2a＋2a＝4a＝20.题型二焦点三角形问题1.对焦点三角形△F1PF2的处理方法，定义式的平方（

31、PF

32、+

33、PF

34、）2(2a)2通常是运用余弦定理面积公式(2c)2

35、

36、PF

37、2+

38、PF

39、22

40、PF

41、

42、PF

43、cos121212

44、P12S1F

45、

46、PF

47、sin221.若P是椭圆：xa2为b2tan2y221上的点.F1,F2为焦点，若bF1PF2，则PF1F2的面积（用余弦定理与PF1PF22a可得）.2y＋3＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解析：由已知a＝2，b＝3，得x2例3如图所示，已知椭圆的方程为422c＝a－b＝4－3＝1，即

48、F1F2

49、＝2c＝2.22222在△PF1F2中，由余弦定理，得

50、PF2

51、＝

52、PF1

53、＋

54、F1F2

55、－2

56、PF1

57、

58、F1F2

59、·cos120°，即

60、PF2

61、＝

62、PF1

63、

64、＋4＋2

65、PF1

66、.①由椭圆定义，得

67、PF1

68、＋

69、PF2

70、＝4，即

71、PF2

72、＝4－

73、PF1

74、.②6116333②代入①解得

75、PF1

76、＝5.∴S△PF1F2＝2

77、PF1

78、·

79、F1F2

80、·sin120°＝2×5×2×2＝33的面积是5.5，即△PF1F222yx巩固已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的22焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a＝4b.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且

81、PF1

82、－

83、PF2

84、＝1，求∠F1PF2的余弦值．22222解析：(1)依题意知c＝1，又c＝a－b，且3a＝4b，4232221222yx所以a－a＝1，即4a＝1.

85、a＝4.因此b＝3.从而椭圆方程为4＋3＝1.(2)由于点P在椭圆上，53所以

86、PF1

87、＋

88、PF2

89、＝2a＝2×2＝4，又

90、PF1

91、－

92、PF2

93、＝1，所以

94、PF1

95、＝2，

96、PF2

97、＝2，又

98、F1F2

99、＝2c＝2，所以由余弦定理得22252322＋－2cos∠F1PF2＝

100、PF1

101、＋

102、PF2

103、－

104、F1F2

105、，22·

106、PF1

107、·

108、PF2

109、＝253＝335.即∠F1PF2的余弦值等于5.2×2×2题型三求椭圆的离心率例4已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如右图所示．由

110、AF1⊥AF2知△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.由椭圆定义知

111、AF1

112、＋

113、AF2

114、＝2a，

115、F1F2

116、＝2c，则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得

117、AF2

118、＝c，

119、AF1

120、＝3c，c所以

121、AF1

122、＋

123、AF2

124、＝2a＝(3＋1)c，所以离心率e＝a＝3－1.点评：求离心率的值或取值围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：c①直接求出a和c的值，套用公式e＝a求得离心率；②根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以及222a＝b＋c等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或围．过F2作椭圆长轴的垂线交于点P.

125、若巩固设椭圆的两个焦点分别为F1，F2。F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。（答案21）22xy巩固椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若

126、AF1

127、,

128、F1F2

129、，

130、F1B

131、成等比数列，则此椭圆的离心率为．解析：由椭圆的定义知，

132、AF1

133、＝a－c，

134、F1F2

135、＝2c，

136、BF1

137、＝a＋c.因为

138、AF1

139、，

140、F1F2

141、，

142、BF1

143、成等比222225数列，因此4c＝(a－c)(a＋c)，整理得5c＝a，