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《《高级生物统计》课程讲义教案-第五讲多项式回归与正交多项式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五讲多项式回归与正交多项式POLYNOMIALREGRESSIONANDORTHOGONALPOLYNOMIAL基本知识一、含义：利用多项式（y=b（）+处+乞/+…+巧,0）研究变量间非线性回归关系的统计分析方法。二、适宜资料：变量间呈非线性（Illi线）变化关系，而乂无己知Illi线类型相配合的资料（如果有己知曲线类型能配合的资料，则可转化为线性分析）。三、分析目的：通过建立多项式回归方程，分析变量间的曲线关系和规律，以利预测和控制，并估计出Illi线回归方程中的一些重要参数，如回归系数、极人值、极小值、
2、渐近值等，它们往往在专业上有重要意义。四、分析思路：把自变量x的不同次方看成新的变量，既把x的p次方看成p元（p个新变量）的线性回归，然示再按多元线性回归进行分析。五、分析方法：（见后）首先是介绍非线性回归分析的两种分析方法，一•是可直线化的非线性回归分析，二是多项式的非线性回归分析。变量间的关系并不都是如前三讲所设定的线性关系，而有时是非线性的关系。对于非线性变量间的回归分析，人们通常经过某种线性处理，将非线性性回归转化为线性回归，即在选用适当函数类型进行拟合时，进行适当的变量变换，把Illi线方程转化为直线
3、方程。但是也不是所有的Illi线都能找到适当的函数类型进行拟合。这时可采用多项式逼近。所以，在许多比较复朵的实际问题中，可以不问自变量和依变量的关系如何，采用多项式回归进行分析。然而，多项式回归分析也存在不足之处。首先是，当H变量的个数较多时计算将I•分繁杂；其次，如同多元线性回归一样，偏冋归系数之间存在相关性，当剔除一个自变冕后,必须重新计算偏回归系数。为此，人们研究了各种简化计算和消去偏回归系数间相关性的办法。而最为常用的是止交多项式的分析方法。在介绍该方法Z前先要了解多项式回归的分析方法。第一节可直线化的
4、非线性回归分析一、可直线化的非线性冋归分析的含义即把符合某些特定曲线类型的资料数据利用数学方法转化为直线型数据，再利用线性回归分析配合直线方程，然后再反转成曲线回归方程。二、确定配合特定1111线类型的方法如何选定与相应资料相配合的特定曲线类型，是可直线化的非线性回归分析的关键。通常冇二种方法。1、图示法：根据所获得资料的自然尺度绘制散点图，然后按照散点趋势画出能够反映它们之间变化规律的曲线，并与已知的曲线相比较找出与之较为相似的曲线图形，该曲线即为选定的曲线类型。2、直线化法：根据散点图进行直观比较，选出一种
5、曲线类型，将曲线方程直线化，并将原始数据进行转换，用转换后的数据绘制散点图，若该图形为直线趋势，表明选取的曲线类型是恰当的，否则将重新选取。3、常用的可用丁•直线化法的曲线类型：指数曲线、对数曲线、幕函数曲线、双曲函数曲线、s型曲线等，具体直线化方法可参考有关统计专著。第二节多项式的非线性回归分析一、多项式回归分析的原理、优点和P次项的确定1、多项式回归分析的原理设有一组观察值（Xi，y（）t=l,2,…，n,存在非线性关系，则多项式回归方程为：y=bQ+h[x+b2x2H—+b/"（4—1）若令X]=x,x2
6、=x2,•••Xp=xp,贝！J（4一1）可改写成$=d（）+〃內+d2x2+…+dpX卩（4—3）这样就把&看成是新的变量，（4—3）式便是一个p元的线性回归方程，各偏回归系数山仍可按下列正规方程组求得。（4—5）（i,j=l,2,…，p）dj]]+〃2人2d卩1卩=l]yd』21+〃2‘22+…+dp【2p-bydJpl+dp2+…+dplpp=lpydo=y~d{x{-d2x2dpxpn其中Ijj=为（兀”一和（Xjf-xy.）=Z兀”xjt一XZXjtjn/=ihy-^/）（＞-y）=^xty-Xx
7、tXyt/nr=l其偏回归系数的计算，回归方程的显著性检验，各偏回归平方和的计算及显著性检验，都与多元线性回归分析相似。2、多项式回归分析的优点：可以对任何双变量资料进行回归逼近。3、多项式回归分析p次项的确定：有n対观察值最多只能配到p=n・l次多项式。P越大，包含的统计数越多，计算越复杂。一个多项式回归方程应取多少项（次）为宜，应根据资料的散点图确定，散点图所表现的曲线趋势的峰+谷+1,即为多项式回归方程的次数。如果散点图波动大或峰谷两侧不对称，可以再高一次或两次。多项式回归方程通常用于描述试验収值范围内的
8、变化关系，外推一般不可靠。在教学中以下可以省去为使离回归平方和SSQ=S（y-y尸最小，即根据最小二乘法原理可得出下列正规方程组：b（）n+$工兀+乞工/+…+乙£兀"=》y%工兀+勺工/+〃2工F+…+妇Xx/,d=Zxy“b（）Xx2+勺工兀'+/?2Xx4Hbp工兀"+2=Yx2y（4—2）b{}+/?
9、Xx/,+I+b2Xx/>+2+•••+/%^x2p=Hxky解上述方程组可
