2018届高考二轮复习系列之大题《三道题》-高中数学（理科）-经典专练6：立体几何之一建系困

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1、•试）如图，四棱锥P-ABCD中，CD//AB,€7)=丄AB,AB=16,PA=PB=10,2PD=6爲，点E为PD中点.(1)求证：PD丄CD;(2)求直线3E与平面PCD所成角的正弦值.O【答案】（1）见解析；（2）.127【解析】（1）证明：取中点F,连接PF、FD,VPA=PB=10,AD=BD=4届,:.AB丄PF,丄FD,・・・PF[}FD=F,:.AB丄平面PFD,PDu平面PFD,:.AB丄PD,又CD//AB,PD丄CD.（2）解：过P做P0丄FQ于0,VAB丄平面PFQ,P0u平面PFD,AAB丄P0,VABCFD=Ff:.P0

2、丄平面ABCD.过0做0G//AB交BC于G,则P0、OF、OG两两垂直，以OF,0G,OP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系0-xyz,VAB=16,PA=PB=10,AD=BD=4g,PD=6^3，点E为PD中点,APF=6,FD=12,APF2+PD2=FD2,:・PF丄PD,:・P0=3品,OF=3,0D=9.-：CD//ABtCD=-AB,2ACD//OG//FB,CD=FB,・••四边形FBCQ是矩形，CD=0G=FB=8,・・・P(0,0,3的)，0(-9,0,0),3(3,8,0),C(-9,8,0),・・・E为PD中点,CD=(O,-

3、8,0).设平面PCD的法向量兀=(兀,y°,z0),n•PD=-9x0-3a/3z0=0n-CD=-^y()=0令兀=1,得z°=-品,则m=则/I与而所成角设为Q,其余角就是直线BE与平面PCQ所成角，设为0,sin0=cosa=n~EB6V127n

4、.

5、Efi

6、~127•••直线BE与平面PCD所成角的正弦值为誓如图，在三棱柱ABC—AB]C]中，平面B{C丄平面AAC]C,ZBAC=90Q.(1)证明：AC丄CA;(2)若厶A^C是正三角形，AB=2AC=2,求二面角-AB-C的大小.7T【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)过点B]作

7、AiC的垂线，垂足为0,由平面AiBiC丄平面A41C1C,平面AiBiCO平面AA[C[C=A{C1得丄平面AACCt又ACu平面AAiCiC,得BiO丄AC.由ZBAC=90°,AB//AxBXi得A/i丄AC.又BiOQAiBi二Bi,得AC丄平面A^C.又C4[U平面AB(J,得AC丄CA].(2)以C为坐标原点，昂的方向为兀轴正方向，

8、乙^为单位长，建立空间直角坐标系。无尹.由已知可得A(l,0,0),A】(0,2,0),厲(0,1,V3).所以鬲=(1,0,0),鬲=(一1,2,0),=4^=(0,-1,73).设〃=(忑儿Z)是平

9、面A{AB的法向量，则,可取兀=(2*,巧,1)・lg/n=(x,y,z)是平面ABC的法向量，则可取m=(0,a/3,1).贝ijcos=n・m\m又因为二面角ArAB-C为锐二面角,所以二面角AWC的大小罟.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD为菱形，PD二PB,H为PC上的点，过AH的平面分别交PB,PD于点M.N,旦〃平面AMHN.(1)证明：MN丄PC;⑵当H为PC的中点，PA=PC/AB,PA与平面ABCD所成的角为60。，求二面角P-AM-N的余弦值.P【答案】（1）见解析；（2）詈【解析】（1）证明：连结AC交BQ于点O

10、,连结PO.因为ABCD为菱形，所以BD丄AC,且O为AC.BD的中点，因为PD=PB,所以PO丄3D,因为ACCPO=O且AC、POu平面PAC,所以3D丄平面PAC,因为PCu平面PAC,所以BD丄PC.因为BD〃平面AMHN,BDu平面PBD,旦平面AMHNC平面PBD=MN,所以BD〃MN,所以MN丄PC.（2）由（1）知BD丄AC且P0丄BD,因为PA=PC,且0为AC的中点，所以P0丄AC,所以P0丄平面ABCD,所以戸4与平面ABCD所成的角为ZPAO,所以，所以A。冷弘"弓PA,因为屈“所以B0弓PA.分别以刃，OB,丽为x,y,z

11、轴，建立如图所示空间直角坐标系,/厂、（设PA=2,则O（O,O,O）,A（1,O,O）,B0,当,0,C（-l,0,0）,D0,-当,0所以丽=,AH=.AB=_1，¥，0,丽=卜1,0,命）记平面AMHN的法向量为也=（X］」，zJ,贝％坷.丽=芈必=0令卞=0,则yj=0,Zj=>/3,所以耳=（1,0,希）,I_壬记平面PAB的法向量为n2=(x2.y2.z2),则2-AB=-x2+—y2=0禺・AP=-x9+a/3z7=0■乙乙—令x2=1,则y2=爲,Z2=^r-,所以n2记二面角P-AM-N的大小为&,贝ijcos^=cos

12、2>=叫勺=_^£n,•n213所以二面角P—N的余弦值为習