19【数学】31《函数与方程》学案

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1、函数与方程学案基础过关1.一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与兀轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与兀轴的交点的横坐标.2.函数与方程两个函数)匸/(兀)与y=g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)=g(x)的解；反之，要求方程/(x)=g(兀)的解，也只要求函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标.3.二分法

2、求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(加/),则必有/(m)-/(^)<0,in+n再取区间的中点p=-—，再判断/(/?)•/(加)的正负号，若/(/?)•/(m)<0,则根在区间(加,p)中;若.£(”)•/(加)>0,则根在0,71)中；若/(/?)=0,则即为方程的根.按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求)，即可得一个近似值.典型例题X—例1・(1)若fM=,则方程/(4x)r的根是()兀A.丄B.一丄C.2D.-2解：A.22(2)设函数/⑴对“R都满足f

3、(3+x)=f(3-x)t且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为()A.0B.9C.12D.18解：由/(3+x)=/(3-x)知/⑴的图象有对称轴x=3,方程f(x)=0的6个根在x轴上对应的点关于直线兀=3对称,依次设为3-片,3—t2,3-$,3+人，彳+:,3+弓，故6个根的和为18,答案为D.(3)已知亘二£=i,3、b、cgr),则有()5aA.b2>4acB・b2>4acC.b2<4acD.b2<4ac解：依题设有a・5-b•躬+c=0・•・V5是实系数一元二次方程ox2+bx+c=0的一个实根；••

4、•△=沪一4处$0Ab2>4ac^答案为B.a(4)关于x的方程x2-(2m-8)x+/«2-16=0的两个实根兀、九满足^<-3或乂〈1.g(-l)=2-x+x2一4兀+4〉0g(

5、l)=x-2+x2-4x+4>0解：D变式训练：当0C.ci<—>1D.—<6/<1222例2.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且qhO)满足条件：f(x-l)=f(3-x),且方程/(尢)=2x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数加、n(m

6、@—2)2=0,得b=2.由/(x-l)=/(3-x)知此函数图象的对称轴方程为x=-—=1,得g-1,2a故f(x)=-x2+2x.91(2)/(x)=-(x-l)2+l

7、足条件的〃人存在，m=—2,,2=0•变式训练：已知函数((a>0,x>0).(有能力的同学完成)ax(1)求证:/W在(0,+8)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围;(3)若/(兀)在[m,n]上的值域是[m,n](m^n),求。的取值范围.解：(1)证明任取西>无>0则：f(xj-f(x2)=丄)==—~-~axxax2x2Xjxxx2>0,Xj•x2>0,x}-x2>0,A/(%

8、)-/(x2)>0,即/(^()>/(x2),故/G)在(0,+s)上是增函数.(2)解：V---<2x在(0,

9、+oo)上恒成立，且日>0,ax—<2x4-丄在(0,+8)上恒成立，ax令g(x)=2x+*,可证：&(兀)在0,V22单减，在单增，则g(x)ng(d)=2j^，・・・要使丄W2x+丄在(0,+8)上恒成立，只需丄5