2018年秋高中数学课时分层作业16数学归纳法新人教a版选修2-2

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1、课时分层作业（十六）数学归纳法（建议用时:40分钟）［基础达标练］一、选择题1.用数学归纳法证明3”$/（刀M3,刀WNJ,第一步验证（）A.刀=1B.n=2C./?—3D./?—4C［由题知，刀的最小值为3,所以第一步验证/7=3是否成立.］2.设St-缶+忌+缶+…+吉，则$+1为（）A，Sk+2k+2Sk+2k+l+2k+2nA2A+12k+2u・6丁2&+22A+1c［因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由$=占+圭+•••+£，①得加=花巨+市+…+以+莎门+17+:②由②一①，得£+1_$=2/汁］+]7+T1i_=2k+l~~k+“.11故十才y——弁3.利用数学归纳法证

2、明不等式1+*+2+…+±V/7（/7M2,用nJ的过程中，由/7=&变到n=k+时，左边增加了（）【导学号：31062168］A.1项B.R项C.项D.2*项D［当n=k时，不等式左边的最后一项为，］］，而当n=k+1时，最后一项为尹丄丁并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2"项.］4.对于不等式yPTTnW卄1（用N+）,某学生的证明过程如下：⑴当刀=1时，pl'+lWl+l,不等式成立.⑵假设n=N*）时，不等式成立，即yjk~+k

3、上述证法()A.过程全都正确B.刀=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到刀=A+1的推理不正确D［刀=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到刀=«+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.］1.一个与正整数刀有关的命题，当刃=2时命题成立，且由n=k时命题成立可以推得n=k+2吋命题也成立，则()【导学号：31062169］A.该命题对于〃>2的自然数/?都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与斤取值无关D.以上答案都不対B［由n=k时命题成立可以推出/7=A+2时命题也成立•且〃=2,故对所有的正偶数都成

4、立.］二、填空题2.用数学归纳法证明“2卄空/72+/7+2(〃wNJ”时，第一步的验证为・［解析］当刀=1时，左M右，不等式成立，V/?eN・••第一步的验证为n=的情形.［答案］当刀=1时，左边=4,右边=4,左事右，不等式成立3.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)・・・S+/7)=2“t・(/+/7)时,从n=k到心&+1左边需要添加的因式是•【导学号：31062170］［解析］当刀=斤时，左端为：(1+1)(2+2)・・・(&+A),当n=k+时，左端为：(1+1)(2+2)…(斤+A)(斤+1+£+1),由&到k+1需添加的因式为：(2A+2).［答案］2&+

5、21.数列｛/｝中，已知0=2,曰”+1=3；；］(刀WN*),依次计算出型，昂，②后，归纳、猜测得出弘的表达式为_［解析］2&2=〒26/7-5*9[答案]=三、解答题1.(1)用数学归纳法证明：l2-22+32-42+-+(-l)n_1722=(一1)'宀・ZLJv—・(2)求证:12-22+32-42+-+(2/7-1)2-(2/7)2=-/?(2n+1)UeN*).[解]⑴①当〃=1时，左边=12=1,右边=(—1)取——严一=1,左边=右边，等式成立.②假设门=kgZ)时，等式成立,即lJ+J+・•+(—则当n=k+1吋，12-22+32-42+-+(-1)a_,A2+(一1)

6、心+1)2=(-1)心号+(-1)女+1)2=(―1)a(A+1)・k+一£=(_])*.__2奸+1].・••当n=k+1吋，等式也成立，根据①、②可知，对于任何刀EN"等式成立.⑵①刀=1时，左边=12—2?=—3,右边=—3,等式成立.②假设n=k时,等式成立,即12-22+32-42+-+(2A-1)2-(2A)2=~H2A+1)2.当n=k+时，12-22+32-42+-+(2A-1)2-(2/^)2+(2>V+1)2-(2>V+2)2=-^(2A+1)+(2A+1)2-(2k+2)2=-k(2k+l)-(U+3)=-(2^+5^+3)=-U+1)[2U+1)+1],所以n=

7、k+1吋，等式也成立.由①②得，等式对任何都成立.x2.已知满足右3=_7==(^>0),乙+1(劝=£(/(/))•⑴求为（方，左3,并猜想力（方的表达式;（2）用数学归纳法证明对fn®的猜想.【导学号:31062171]flX[解](1)£&)=£[/；&)]=負%£3=£[五3]=/+£x~y[T+^Y猜想：fSx)=-F==),SwlOy]1+nxX⑵下面用数学归纳法证明，/;（站乔护訥X①当E时，右（八严’显然成立;②假设