2018_2019学年高中数学第一章三角函数7正切函数学案北师大版必修4

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1、§7正切函数【学习目标】1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y=tan,k凯内的单调预习新知夯实基础的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(一£性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.问题导学知识点一正切函数的定义思考1设角Q的终边与单位圆交于点P(a,b),那么勺可时有意义？a答案当$工0时，2有意义.a思考2正切两数与正弦、余弦函数有怎样的关系？答案tan°=豊柠aWR,a+An,梳理(1)任意角的正切函数如果角a满足：aWR,0工三~+&11(&WZ),那么，角a的终边与单位圆交于点户(日，6),hJl唯一确定比值=，我们把它

2、叫作角Q的正切函数，记作y=tano,其中aWR,(J7^—+Ztji,az(2)正切函数与正眩、余眩函数的关系■根据定义知tana="n(aWR,^工斗+斤兀，AeZ).cosci2(3)正切值在各彖限的符号根据定义知，当角在第二和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第也象限时，其值为负.知识点二正切线思考正切线是过单位圆上哪一点作出的？答案过单位圆与“轴的非负半轴的交点力(1,0).梳理如图所示，线段为角Q的正切线.知识点三正切函数的图像与性质思考1正切函数的定义域是什么？JI答案X思考2能否说正切两数在整个定义域内是增函数?答案不能.正切函数y=tan

3、%在每段区间卜兀一*，^^+yj(^Z)±是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.梳理解析式y=tanx图像-J4V丿Y

4、na—a—tanan—a—tanan+<7tana兀2+。—cota函数名改变，符号看象限n2cota启迪思维探究重点题型探究类型一正切函数的概念例1若角〃的终边经过点彳一£，J且3〃=扌，贝U加=考点正切函数的定义题点已知正切值求参数答案飞解析由正切函数的定义得，七斗解得m=_5b反思与感悟（1）解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan。=-.a（2）已知角终边上的一点〃（自，QQHO）,求该角的正切函数值，或者已知角a的正切值，求角Q终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程屮，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1已知点P（—2曰，3Q@H0）

5、是角〃终边上的一点，求tan〃的值.考点正切函数的定义题点由定义求正切值3曰3解由于臼H0,/.tan8=—亍类型二正切函数的图像及性质例2画出函数

6、tan”的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由y=丨tanx,得「兀tanx,AnW*&兀+_y=ji—tanXy~—+k^

7、tan刘是偶函数，递增区间为+^（^eZ）,递减区间为（一*+&兀，"（AeZ）,周期为反思与感悟⑴作出函数尸"3丨的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保留函

8、数y=fx）图像在/轴上方的部分；②将函数y=图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.（2）若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练2将本例屮的函数y=

9、tanx

10、改为y=tan

11、%

12、,回答同样的问题，结果怎样？考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合Itan兀&0）,解由于尸si店仁（—go）.其图像如下:由图像可知,函数y=tan

13、x

14、是偶函数,递增区间为o,yj,（斤兀才）（&为正整数）,递减区间为（巾一六加+守”为负整数）和（一计，0）不是周期函数.类型三正切函数诱导公式的应用例3求下列各式的值.(

15、l)7cos270°+3sin270°+tan765°；/、tan225°+tan750°⑵tan(—30°)—tan(—45°)'考点正切函数的诱导公式题点利用诱导公式求值解(1)原式=7cos仃80°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2X360°+45°)=-7cos90°-3sin90°+tan45°=0—3><1+1=—2・tan(180°+45°)+tan(2X360°+30°)_tan45°+tan30°2京工—tan30°+tan45°tan45°—tan30°反思与感悟（1）熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键

16、.（2）无