2018-2019学年高中数学第一章三角函数7正切函数学案北师大版必修4

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1、§7　正切函数学习目标　1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y＝tanx的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.知识点一　正切函数的定义思考1　设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？答案　当a≠0时，有意义.思考2　正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？答案　tanα＝.梳理　(1)任意角的正切函数如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我

2、们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tanα＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负.知识点二　正切线思考　正切线是过单位圆上哪一点作出的？答案　过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1，0).梳理　如图所示，线段AT为角α的正切线.知识点三　正切函数的图像与性质思考1　正切函数的定义域是什么？答案　.思考2　

3、能否说正切函数在整个定义域内是增函数？答案　不能.正切函数y＝tanx在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.梳理　解析式y＝tanx图像定义域值域R周期最小正周期是π奇偶性奇函数对称中心，k∈Z单调性在开区间(k∈Z)上是增加的知识点四　正切函数的诱导公式思考　前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.对正切函数能适用吗？答案　因为tanα＝，所以口诀对正切函数依然适用.梳理　函数角y＝t

4、anx记忆口诀kπ＋αtanα函数名不变，符号看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanα＋α－cotα函数名改变，符号看象限－αcotα类型一　正切函数的概念例1　若角θ的终边经过点A，且tanθ＝，则m＝.考点　正切函数的定义题点　已知正切值求参数答案　－解析　由正切函数的定义得，＝，解得m＝－.反思与感悟　(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝.(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的

5、坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1　已知点P(－2a，3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tanθ的值.考点　正切函数的定义题点　由定义求正切值解　由于a≠0，∴tanθ＝＝－.类型二　正切函数的图像及性质例2　画出函数y＝

6、tanx

7、的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.考点　正切函数的图像及性质题点　正切函数的图像及性质综合解　由y＝

8、tanx

9、，得y＝其图像如图所示.由图像可知，函数y＝

10、tanx

11、是偶函数，递增区间为(k∈Z)

12、，递减区间为(k∈Z)，周期为π.反思与感悟　(1)作出函数y＝

13、f(x)

14、的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练2　将本例中的函数y＝

15、tanx

16、改为y＝tan

17、x

18、，回答同样的问题，结果怎样？考点　正切函数的图像及性质题点　正切函数的图像及性质综合解　由于y＝tan

19、x

20、＝其图像如下：由图像可知，函

21、数y＝tan

22、x

23、是偶函数，递增区间为，(k为正整数)，递减区间为(k为负整数)和，不是周期函数.类型三　正切函数诱导公式的应用例3　求下列各式的值.(1)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(2).考点　正切函数的诱导公式题点　利用诱导公式求值解　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝＝＝＝2＋.反思与感悟　(1)熟记诱导公式和特殊

24、角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值.跟踪训练3　.考点　同名诱导公式的综合应用题点　同名诱导公式的综合应用解　原式＝＝＝＝.1.函数y＝tan的最小正周期是(　　)A.πB.2πC.D.考点　正切函数的周期性题点　求正切函数的周期答案　C解析　最小正周期为T＝＝.2.函数f(x)＝tan的递增区间为(　　)A.，k∈ZB.(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z考点　正切函数的单调性题