2018版高中数学北师大版必修四学案第一章 7 正切函数

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1、2017-2018学年高中数学北师大版必修4学案学习目标　1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y＝tanx(x∈R，x≠＋kπ，k∈Z)的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(－，)内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用．知识点一　正切函数的定义思考1　设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？思考2　正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？梳理　(1)任意角的正切函数如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一

2、确定比值________，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝________，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系82017-2018学年高中数学北师大版必修4学案根据定义知tanα＝________(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z)．(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第____和第____象限时，其正切函数值为正；当角在第____和第____象限时，其值为负．知识点二　正切线思考　正切线是过单位圆上哪一点作出的？梳理　如图所示，线段____为角α的正切线．知识点三　正切

3、函数的图像与性质思考1　正切函数的定义域是什么？思考2　能否说正切函数在整个定义域内是增函数？梳理　解析式y＝tanx图像定义域{x

4、x∈R，x≠kπ＋，k∈Z}82017-2018学年高中数学北师大版必修4学案值域R周期最小正周期是π奇偶性____函数对称中心单调性在开区间(k∈Z)上是增加的知识点四　正切函数的诱导公式思考　前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？梳理　函数角y＝tanx记忆口诀kπ＋αtanα函数

5、名不变，符号看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanα＋α－cotα函数名改变，符号看象限－αcotα类型一　正切函数的概念例1　若角θ的终边经过点A(－，m)，且tanθ＝，则m＝________.反思与感悟　(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝.(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α82017-2018学年高中数学北师大版必修4学案终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的

6、位置．跟踪训练1　已知点P(－2a,3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tanθ的值．类型二　正切函数的图像及性质例2　画出函数y＝

7、tanx

8、的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．反思与感悟　(1)作出函数y＝

9、f(x)

10、的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．跟踪训练2　将本例中的函数y＝

11、tanx

12、改为y＝t

13、an

14、x

15、，回答同样的问题，结果怎样？类型三　正切函数诱导公式的应用例3　求下列各式的值．(1)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(2).反思与感悟　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．跟踪训练3　化简：.82017-2018学年高中数学北师大版必修4学案1．函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是(　　)A．πB．2πC.D.2．函数f(x)＝tan(x＋)的递增区间为(　

16、　)A．(kπ－，kπ＋)，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－，kπ＋)，k∈ZD．(kπ－，kπ＋)，k∈Z3．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝tanD．y＝－tanx4．tan等于(　　)A．－cotαB．cotαC．tanαD．－tanα5．比较大小：tan1________tan4.1．正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的．2

17、．正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是{x

18、x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期为T＝.(3)正切函数在(k∈Z)82017-2018学年高中数学北师大版必修4学案上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间．82017-2018学年高中数学北师大版必修4学案答案精析问题导学知识点一