2018_2019学年高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修

《2018_2019学年高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、7．1　正切函数的定义7．2　正切函数的图像与性质内容要求　1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．知识点1　正切函数的定义(1)任意角的正切函数：如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：根据定

2、义知tanα＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．(3)正切值在各象限的符号：根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．(4)正切线：在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．【预习评价】1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tanα＝，则x的值为(　　)A．7B．8C．15D.解析　由正切函数的定义tanα＝＝，解之得x＝8.答案　B122．函数y＝tan2x的定义域为________．解析　由正切函数的

3、定义知，若使y＝tan2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．解得x≠＋(k∈Z)．答案　知识点2　正切函数的图像及特征(1)y＝tanx，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：(2)正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．【预习评价】正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？提示　正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．知识点3　正切函数的性质函数y＝tanx定义

4、域值域R周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在(k∈Z)上是增加的【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数为定义域上的增函数(×)(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx是增加的．(√)(3)若x是第一象限的角，则y＝tanx是增函数(×)12(4)正切函数y＝tanx的对称中心为(kπ，0)k∈Z.(×)题型一　正切函数的定义【例1】　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα、tanα的值．解　r＝＝5

5、a

6、，若a＞0，则r＝5a，

7、角α在第二象限，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－.tanα＝＝＝－；若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.规律方法　已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tanα时，其值与该点的位置无关且tanα＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：α0tanα01－－1－【训练1】　若tanα＝，利用三角函数的定义，求sinα和cosα.解　∵tanα＝＞0，∴角α是第一或第三象限角．①若角α是第一象限角，则由tanα＝，角α的终边上必有一点P(2,1)，∴r＝

8、OP

9、

10、＝＝.∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝.②若角α是第三象限角，则由tanα＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，∴r＝

11、OP

12、＝＝.∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－.题型二　正切函数的图像及应用【例2】　利用正切函数的图像作出y＝

13、tanx

14、的图像并写出使y＝的x的集合．12解　∵当x∈时，y＝tanx≤0，当x∈时，y＝tanx＞0，∴y＝

15、tanx

16、＝如图所示．使y＝的x的集合为.规律方法　1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线

17、法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(

18、x

19、)及y＝

20、f(x)

21、的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(

22、x

23、)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝

24、f(x)

25、的图像．【训练2】　(1)函数y＝的定义域为________．解析　要使该函数有意义，则有即x≠kπ－且x≠kπ＋.答案　(2)根据正切函数的图像，写出tanx≥－1的解集．解　作出y＝tan

26、x及y＝－1的图像，如下图．∴满足此不等式的x的集合为.12方向1　比较大小【例3－1】　比较tan1、tan2、tan3的大小．解　∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，又∵<2<π，∴－<2－π<0.∵<3<π，∴－<3－π<0，显然－<2－π<3－π