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《2018_2019高中数学第3章空间向量与立体几何311空间向量及其线性运算学案苏教版选修2_1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.1空间向量及其线性运算【学习目标】1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.预习新知夯实基础问题导学知识点一空I'可向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理⑴在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量$的起点是儿终点是必则向量日也可记作旋其模记为I引或I丽.(2)几类特殊的空间向量名称足义及表不零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向暈模为1的
2、向量称为单位向量相反向量与向量日长度相等而方向相反的向量,称为2的相反向量，记为一日相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量及其线性运算1.空间向量的线性运算己知空间向量b,在空间任取一点0,作~0A=a,~0B=b,~AB=c,与平面向量:的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：0B=0A+AB=a+c；BA=0A—0B=a—b=—c.若P在直线加上，则~0P=^a(^eR).2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：()a+b=b+a；(2)(a+A)+c=q+(Z?+c)；⑶A(a+b)=Aa+久b
3、(久WR).知识点三共线向量（或平行向:g）1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相他或重金，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量日与b平行，记作a//b,规定零向量与任意向量共线.2.共线向量定理：对空间任意两个向量a,方3H0）,〃与日共线的充要条件是存在实数A,使方=Aa.p-思考辨析1.在空间屮，2.在空间中，3.在空间中，判断正误■1单位向量唯一.（X）任意一个向量都可以进行平移.（J）互为相反向量的两个向量必共线.（丁）4.空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算.（X）启迪思维探究重点题型探究类型一空间向量的概念及应用例1如图所示，以长方体/'
4、BCD—ABC。的八个顶点的两点为始点和终点的向量中:（1）试写出与;^相等的所有向量;（2）试写出AAi的相反向量；⑶若AB=AD=2,^i=l,求向量的模.解⑴与向量乔相等的所有向量（除它自身之外）有祜，旋及兀，共3个.⑵向量麻的相反向量有瓦7,丽，~0C,共4个.(3)~AQ
5、=寸丨乔F+I乔
6、2+
7、1Z
8、2=曲+才+12=小=3.引申探究如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，肋=3,初=2,AAf=1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中:AB（1）单位向量共有多少个?⑵试写出模为帝的所有向量.解（1）由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量丽*,厂，
9、丽*,亍B,河，CC,肘,D'D,共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.⑵由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为故模为&的向量有矿，,AfD,市,无,CfB,B'C,CB^.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1给出以下结论：①两个空I'可向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量b满足a=bf则a=b；③在正方体ABCD—AACA中，必有花=屁;；④若空间向量加，n,P满足227=7
10、7,n=p＞则227=p.其中不正确的命题的序号为.答案①②解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a,b满足a=b,则不一定能判断出竝=厶故②不正确；在正方体ABCD—ABGD.中，必有花=花成立，故③正确；④显然正确.类型二空间向量的线性运算例2如图，已知长方体ABCD-A1B'C〃，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.⑴丽*_换(2)M*+AB+B'C.解（1）丽*一页=耐-DA=AA^+乔=丽*・⑵矿+AB+ffC=(矿+Ml)+B,C=府+B1C=炉.向量AD广,如图所示.D‘C引屮探究利用本例题图，化简IF+F7F+F
11、T7*+厂.解结合加法运算，得AA^+Ar=亦，AB^+BfCY=炉，AC^+C~A=O.故矿+Af+Bf+6^=0.反思与感悟1•化简向量表达式吋，要结合空I、可图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：AC+Aff^+AfT=2AC^
