2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(4)

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1、2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4）姓名一、填空题（共2小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1・若函数f（x）=3COS（69X+—）-sin（69^-—）（69>0）的最小正周期为龙，则/（兀）在区间0,—63L2.上的最大值为O2.己知集合人={兀

2、兀2一3兀+250},B=

3、x

4、—LA3.函数f(x)=x2lnx+x2-2零点的个数为C4.如图，在止方体ABCD-A&CQ中，二面角B-A.C-D的大小为o5.在空间四边形ABCD中，已矢WAB=2,BC=3,CD=4,DA=5,则uuiuuumAC

5、BD=o6-已知直细过椭圆C：P八1的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。。为坐标原点,若Q4丄OB,则点O到直线AB的距离为o37.己知zwC,若关于x的方程x2-2zx+-+i=0（I为虚数单位）有实数根，则复数z的模z4的最小值为O7.将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为-(用数字作答)8./(兀)是定义在/?的函数,若/(0)=1008,且对任意xwR,满足/(x+4)-/(x)<2(x+l),/(x+12)-/(x)>6(x+5),则/(20⑹20169.当X,y,z为正数时，需莘的最大值为二、解答

6、题(共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程〉10.已知数列｛an｝的前〃项和S“=2an-2(处N*)。(1)求｛色｝的通项公式色；(2)设仇=丄-一,7；是数列｛bn｝的前n项和，求正整数£,使得对任意z/wM均ann(n+l)有Tk>Tn；(3)设c,严——纟士——,心是数列｛C”｝的前刃项和,若对任意nwN"均有Rh

7、如图，F、场为双曲线C：y-/=l的左、右焦点，动点pg，y())(>0>1)在双曲线C上的右支上。设ZF}PF2的角平分线交兀轴于点M(加，0),交y轴于点N。(1)求加的取值范围;(2)设过斥，N的直线/交双曲线C于点D,E两点，求厶F2DE面积的最大值。15.求满足下列条件的最小正整数若将集合A二{1,2,3,L」}任意划分为63个两两不相交的子集(它们菲空且并集为集合A)儿，A2,A3,…，A63,则总存在两个止整数兀，y属于同一个了集A,(1y,31x<32y<>【解答】考虑模63的剩余类，即将集合A划分为如下63个两两不相交的子集：A/={a

8、

9、a=63£+i,£wN},i=l,2,3,…，63。5分则对每一个仏(1y)都有x-y>63o于是,y32y,与31兀532y矛盾。・・・/?<2016时，不满足题设条件。10分另一方面，当z?=2016吋，由2016=32x63知，下列64个数：31x63,31x63+1,31x63+2,・・・，31x63+63都在集合A中。因此，对将A={1,2,3,L,n}任意划分为63个

10、两两不相交的子集4，A2,A3,・・・，A&3的划分方法，由抽屉原则知，31x63,31x63+1,31x63+2,…,31x63+63这64个数中必有两个数兀，y(x〉y)属于同一个A：。15分设兀=31x63+兀］,y=31x63+x，63>>0o于是,31兀一32y=31(31x63+xJ-32(31x63+=(31西一32/)+31x63(31—32)<31x,-31x63<31x63-31x63=0o/•“=2016,满足题设的条件。综上可知，满足题设条件的斤的最小值为2016o20分2017年高中数学竞赛模拟试卷（4）参考答案一、填空题（共10小题，每小题6分，

11、满分60分。请直接将答案写在题中的横线上〉IT7T1.右函数/（%）=3cos（69x+—）-sin（69x——）（co>0）的最小正周期为龙,贝!1/（兀）在区间63囲上的最大值为o【答案】2巧［解答］•//（X）=3COS（69X+—）-sin（69X-—）=3COS（69X+-）-sin（69X+—）63662=3COS（69X+—）+COS（69X+—）=4COS（69X+—）,且/（X）的最小正周期为龙。666717171.1716~6/.a）=2,/（x）=4cos（2%+—）。又兀w0,—时，—<2x