2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷

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1、2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______一、填空题，每题8分1.设，则2.设为虚数单位，化简3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则4.集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于二、简答题8.已知数列满足，。用数学归纳法证明：9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的

2、充分必要条件。10.求满足的所有正整数对2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案一、填空题，每题8分1.设，则解答：由，可得，故，从而2.设为虚数单位，化简解答：由，可得，同理可得故3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则解答：设等差数列的公差为d，则有，解得4.集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。解答：设则有，当时，的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,个元素。5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是解答：设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，，，当时因此，

3、有三个不同的实根当且仅当6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于解答：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则有由此四面体的体积7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于解答：不妨设椭圆的方程为，经过的两个焦点，，与恰有三个交点，所以，则得离心率等于一、简答题8.已知数列满足，。用数学归纳法证明：证明：从而对成立。当时假设，由递推公式可得由此，对一切成立。9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。证明方法一：两边平方移项合并两边平方展开可得

4、移项合并不等式成立的必要是当不等式等号成立等价于，当时不等式等号成立。综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是且或者证明方法二：设向量则根据三角不等式即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件是平行且方向相同。当时，，以下同证明方法一。10.求满足的所有正整数对解答：引理1:在上单调递增，在上单调递减。引理2：当时，由引理1可得有以下情形，情形一：，均满足题设情形二：设则由，可得满足题设条件的只有情形三：易知满足要求。情形四：，设当时所以单调递增，因此，当时，当时，无满足题设条件。综上，所有满足题设条件的正整数为